18.02 Задачи №18 из сборника И.В. Ященко

1 способ. Графический в системе координат

Преобразуем первое и второе уравнения. Тогда первое уравнение примет вид

Второе уравнение примет вид

Будем рассматривать параметр как переменную. Построим в системе координат множества и решений первого и второго уравнений соответственно. Если некоторая точка плоскости с координатами принадлежит одному из множеств или то для исходной задачи это означает, что если параметр принимает значение то будет одним из решений соответствующего уравнения.

Нас просят найти все такие значения параметра при каждом из которых ровно четыре точки вида , принадлежат множеству решений изображенному на плоскости Причем выполнены следующие требования:

две точки принадлежат множеству то есть графику функции

(назовем их «точки уголка»);

две точки принадлежат множеству то есть графику, задаваемому системой

(назовем их «точки дуги»);

точки уголка и точки дуги перемежаются и не совпадают.

Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая пересекается со множеством по четырем точкам где При этом точки и принадлежат а точки и — или наоборот.

Преобразуем уравнение

Таким образом, графиком уравнения является уголок где

Графиком системы является дуга окружности с центром в точке радиуса находящаяся не ниже прямой При этом дуга является полуокружностью и — точки пересечения прямой с окружностью

Изобразим множества и на координатной плоскости:

Таким образом, видим, что нам подходят все горизонтальные прямые, находящиеся в закрашенной области, то есть между прямой проходящей через точку и прямой проходящей через точку Тогда в ответ пойдут значения параметра Действительно, если упорядочить абсциссы точек пересечения такой горизонтальной прямой с множеством то мы получим четыре точки При этом точки с абсциссами и лежат на дуге а точки с абсциссами и — на уголке

Найдем ординаты точек и

Точка пересечения окружности с прямой находится в четверти, то есть имеет положительную абсциссу. Значит, ее координаты ищутся из системы:

Значит,

Точка пересечения окружности с прямой находится во четверти, то есть имеет отрицательную абсциссу. Значит, ее координаты ищутся из системы:

Значит,

Тогда получаем

2 способ. Алгебраический

Рассмотрим первое уравнение. Определим, при каких оно имеет корни и какие это корни.

Полученная система имеет два решения, если корни совокупности удовлетворяют условию и различны:

Таким образом, при первое уравнение имеет два различных корня.

 

Рассмотрим второе уравнение.

Полученная система имеет два различных корня, если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, причем обе точки удовлетворяют условию Следовательно, дискриминант уравнения должен быть положителен, а число должно быть левее меньшего из корней или совпадать с ним. Если — абсцисса вершины этой параболы, то нужная нам ситуация задается следующей системой:

Следовательно, при второе уравнение имеет два различных корня.

Значит, оба уравнения имеют по два различных корня при

 

Далее будем вести рассуждения при чтобы существовали корни обоих уравнений.

Корни первого уравнения найдены, это числа Корни второго уравнения ищутся из то есть это числа и Заметим, что Заметим также, что при

Определим, при каких корни перемежаются, то есть между корнями каждого из уравнений лежит корень другого уравнения. Возможны две ситуации.

1.

Следовательно,

Так как то следовательно, неравенство не имеет решений.

2.

Следовательно,

Решили систему с учетом

Пересекая полученные значения с окончательно имеем: