18.02 Задачи №18 из сборника И.В. Ященко

Уравнение равносильно совокупности

Корни уравнения (1) — числа

Решим уравнение (2). Оно линейное.

При уравнение (2) примет вид

Тогда совокупность, а значит, и исходное уравнение, может иметь максимум два корня — это и Для того, чтобы оба этих числа являлись решениями совокупности, нужно, чтобы они удовлетворяли неравенству (1’), которое имеет вид То есть они ему удовлетворяют. Следовательно, нам подходит и является частью ответа.

Пусть Не будем это повторять каждый раз в наших дальнейших рассуждениях, просто в итоговых значениях это учтем.

Уравнение (2) имеет единственный корень

Получаем, что числа и — «потенциальные» решения совокупности, а значит, и исходного уравнения. При этом и — решения, если они удовлетворяют (1’), — решение, если оно удовлетворяет (2’).

Определим при которых каждое из чисел удовлетворяет «своему» неравенству. Будем такое число называть хорошим. В противном случае будем называть число плохим. То есть определим при которых каждое число является хорошим или плохим.

Число — хорошее, если выполнено неравенство

Значит, — плохое, если

Число — хорошее, если

Значит, — плохое, если

Число — хорошее, если

Значит, — плохое, если

Тогда если числа различны, то нам подходит ситуация, когда из них ровно два хороших, а третье плохое.

Рассмотрим отдельно случаи, когда какие-то два числа совпадают. При этом все три совпасть не могут, так как

1.

Пусть

Тогда — хорошие, — хорошее. Следовательно, исходное уравнение имеет два корня, значит, — часть ответа.

2.

Пусть

Тогда — хорошие и — плохое. Следовательно, исходное уравнение имеет один корень и этот случай нам не подходит.

Далее пусть все три числа различны, то есть

Составим для удобства табличку:

 

1.

Ситуация «хорошее, хорошее, плохое»:

2.

Ситуация «хорошее, плохое, хорошее»:

3.

Ситуация «плохое, хорошее, хорошее»:

Следовательно, третья часть ответа:

Объединив все подходящие значения параметра, получаем окончательно