18.02 Задачи №18 из сборника И.В. Ященко

Рассмотрим первое уравнение системы:

Обозначим точку за

Тогда полученное уравнение при задает окружность с центром радиуса при задает точку

Нам необходимо, чтобы исходная система имела ровно четыре решения. Следовательно, каждое уравнение системы должно иметь не менее четырех решений, тогда случай нам точно не подходит.

Далее рассматриваем

Рассмотрим второе уравнение системы. Запишем его в виде:

Раскроем модуль при

1.

При получаем:

2.

При получаем:

Графиком функции является уголок, ветви которого направлены вверх и имеют наклон а вершина имеет координаты От этого уголка нужно взять части, находящиеся выше и на прямой

Графиком функции является уголок, ветви которого направлены вниз и имеют наклон а вершина имеет координаты От этого уголка нужно взять части, находящиеся ниже прямой

Найдем точки пересечения этих уголков с прямой

Следовательно, это точки и Получаем такой график второго уравнения исходной системы:

Тогда нужно найти такие значения параметра при которых окружность с центром и радиусом будет иметь с полученным голубым графиком (без пунктира) ровно четыре общие точки.

Изобразим граничные положения.

Положение : окружность касается правой ветви уголка с ветвями вниз.

Уравнение уголка с ветвями вниз — это Правая ветвь задается уравнением при положительном раскрытии модуля, то есть причем

Расстояние от центра окружности до прямой должно быть равно радиусу окружности:

Положение : окружность проходит через точку

Нужно еще отдельно определить, где находится точка касания окружности и правой ветви уголка с ветвями вверх: на пунктирной (то есть на несуществующей) части или на существующей.

Уравнение уголка с ветвями вверх — это Правая ветвь задается уравнением при положительном раскрытии модуля, то есть причем

Запишем систему, задающую точки пересечения окружности и прямой

Эта система должна иметь единственное решение. Подставим второе уравнение в первое:

Полученное квадратное уравнение должно иметь одно решение, то есть его дискриминант должен быть равен нулю. Тогда этим решением должна быть абсцисса вершины Видим, что следовательно, точка касания находится на существующей части. Тогда на самом деле есть еще два граничных положения:

Положение : окружность касается существующей части правой ветви уголка с ветвями вверх.

Тогда дискриминант уравнения равен нулю:

Положение : окружность проходит через точку

Итак, получаем:

– до положения — нет общих точек;

– положение — одна общая точка;

– от положения до положения — две общие точки;

– положение — три общие точки;

– от положения до положения — четыре общие точки;

– положение — три общие точки;

– от положения до положения — две общие точки;

– положение — три общие точки;

– после положения — четыре общие точки.

Таким образом, подходят случаи, когда радиус окружности или

Решим первое неравенство:

Решим второе неравенство:

Отсюда получаем

Объединяя решения обоих случаев, получаем: