18.02 Задачи №18 из сборника И.В. Ященко

Исследуем неравенство

Заметим, что его левая часть неотрицательна, следовательно, то есть Иначе первое неравенство, а значит, и система не будут иметь решений.

Тогда так как то неравенство задает область внутри окружности, включая границу, то есть круг с центром в точке и радиусом

Преобразуем второе неравенство:

Такое неравенство задает область над прямой включая эту прямую.

Следовательно, если прямая является секущей для окружности то система неравенств имеет бесконечно число решений — одну из двух областей, на которые прямая делит круг.

Если прямая не имеет общих точек с окружностью, то система либо будет иметь бесконечное число решений (все точки внутри окружности), либо не будет иметь решений вовсе (окружность будет лежать в нижней полуплоскости от прямой).

Тогда одно решение система неравенств может иметь только если первое неравенство задает точку, либо если прямая касается окружности.

Рассмотрим первый случай. Если неравенство задает точку, то иначе оно задает круг ненулевого радиуса, то есть бесконечное количество точек, лежащих внутри заданной окружности.

Тогда Значит,

Проверим, является ли точка решением второго неравенства при

Получили верное неравенство. Значит, нам подходит.

Теперь найдем такие значения параметра при которых прямая касается окружности. Для этого расстояние от центра окружности до прямой должно равняться радиусу окружности.

Расстояние от точки до прямой можно вычислить по формуле

Нам дана точка то есть и прямая уравнение которой можно переписать в виде Тогда

Таким образом,

Тогда можем записать уравнение:

Раскроем модуль. Если то получаем

Так как мы рассматриваем то

Если то получаем

Тогда

Осталось проверить значения и ведь при касании прямой и окружности решением системы неравенств может быть либо весь круг, либо одна его точка.

Для этого достаточно проверить, является ли центр окружности решением неравенства

Подставим

Точка является решением, значит, нам не подходит.

Подставим

Точка не является решением, значит, нам подходит.

Объединив подходящие значения параметра, окончательно получаем