Тема 18. Задачи с параметром

18.02 Задачи №18 из сборника И.В. Ященко

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#111602

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система неравенств

{ 2 2 (x + 2a) + (a− y) ≤ 5− a, x+ y ≤ |a+ 2|

имеет единственное решение.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 8

Показать ответ и решение

Исследуем неравенство

2 2 (x+ 2a) +(a− y) ≤ 5− a.

Заметим, что его левая часть неотрицательна, следовательно, $5− a≥ 0,$ то есть $a ≤5.$ Иначе первое неравенство, а значит, и система не будут иметь решений.

Тогда так как $5− a≥ 0,$ то неравенство $(√----)2 (x+ 2a)2 +(a− y)2 ≤ 5− a$ задает область внутри окружности, включая границу, то есть круг с центром в точке $(−2a;a)$ и радиусом $√ ---- 5− a.$

Преобразуем второе неравенство:

x + y ≤ |a +2| y ≤ −x + |a+ 2|

Такое неравенство задает область под прямой $y = − x+ |a +2|,$ включая эту прямую.

Следовательно, если прямая $y = −x + |a+ 2|$ является секущей для окружности $(x +2a)2+ (a− y)2 =5 − a,$ то система неравенств имеет бесконечное число решений — одну из двух областей, на которые прямая делит круг.

Если прямая не имеет общих точек с окружностью, то система либо будет иметь бесконечное число решений (все точки внутри окружности), либо не будет иметь решений вовсе (окружность будет лежать в верхней полуплоскости от прямой).

Тогда одно решение система неравенств может иметь только если первое неравенство задает точку, либо если прямая касается окружности.

Рассмотрим первый случай. Если неравенство задает точку, то $5− a= 0,$ иначе оно задает круг ненулевого радиуса, то есть бесконечное количество точек, лежащих внутри заданной окружности.

Тогда $a = 5.$ Значит,

(x+ 10)2+ (5− y)2 ≤ 0 (x+ 10)2+ (5− y)2 = 0 { x= −10 y = 5

Проверим, является ли точка $(− 10;5)$ решением второго неравенства при $a = 5:$

− 10+ 5≤ |5 +2| − 5≤ 7

Получили верное неравенство. Значит, $a1 = 5$ нам подходит.

Теперь найдем такие значения параметра $a,$ при которых прямая касается окружности. Для этого расстояние от центра $(− 2a;a)$ окружности до прямой $y = −x+ |a+ 2|$ должно равняться радиусу $√5-−-a$ окружности.

Расстояние от точки $M (x0;y0)$ до прямой $Ax+ By + C = 0$ можно вычислить по формуле

|Ax + By + C| d= ---0√-2--0-2--. A +B

Нам дана точка $(−2a;a),$ то есть $x0 = −2a,$ $y0 =a,$ и прямая $y = −x +|a+ 2|,$ уравнение которой можно переписать в виде $x +y − |a+ 2|= 0.$ Тогда $A = 1,$ $B = 1,$ $C = −|a+ 2|.$

Таким образом,

d= |1⋅(−2a)+√-1⋅a+-(−-|a-+2|)| = |− a-−√ |a+-2||. 12 +12 2

Тогда можем записать уравнение:

|− a-−√ |a+-2||-=√5-−-a 2 a2 +(a+ 2)2+ 2a|a+ 2| ---------2---------= 5− a 2 2 a + a + 4a+ 4+ 2a|a + 2|= 10− 2a 2a2+ 6a− 6+ 2a|a +2|= 0 a2+ 3a− 3+ a|a + 2|= 0

Раскроем модуль. Если $− 2< a< 5,$ то получаем

a2 +3a − 3 +a(a+ 2)= 02a2+ 5a− 3= 0 D = 25+ 24= 49 − 5± 7 a= --4--- ⌊ a= −-12= −3 |⌈ 4 a= 2 = 1 4 2

Так как мы рассматриваем $− 2< a <5,$ то $a2 = 1. 2$

Если $a ≤ −2,$ то получаем

a2+ 3a− 3− a(a + 2) =0 a− 3= 0 a =3

Так как мы рассматриваем $a≤ −2,$ то данное значение не подходит.

Осталось проверить значение $a2,$ ведь при касании прямой и окружности решением системы неравенств может быть либо весь круг, либо одна его точка.

Для этого достаточно проверить, является ли центр окружности $(−2a;a)$ решением неравенства $x+ y ≤|a+ 2|.$

Подставим $1 a2 = 2 :$

1 |||1 ||| −1+ 2 ∨|2 +2| 1 1 −2 ∨2 2 − 1 < 21 2 2

Точка $(− 2a2;a2)$ является решением, значит, $a2 = 1 2$ нам не подходит.

Таким образом, подходит только одно значение параметра:

a= 5.

Ответ:

$a = 5$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

18.02 Задачи №18 из сборника И.В. Ященко

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ