18.02 Задачи №18 из сборника И.В. Ященко

Заметим, что если какая-то пара является решением системы уравнений из условия, то и пара тоже является решением этой системы, так как и

Пусть Тогда из первого уравнения системы получаем Но пара не является решением второго уравнения, а значит, и всей системы.

Таким образом, будем считать, что и будем искать такие значения параметра при которых система имеет ровно одно решение.

Заметим, что

Тогда исходная система равносильна системе

Решим систему

Далее наложим на неё условие

Преобразуем первое уравнение:

Преобразуем второе уравнение. Так как то

Рассмотрим два случая: и

Пусть Тогда

Так как мы рассматриваем то подходит только решение Значит, получаем пару

Пусть Тогда

Так как мы рассматриваем то подходит только решение Значит, получаем пару

Мы пришли к тому, что система уравнений

имеет ровно два решения при но на эти два решения нужно наложить условие

Найдем квадраты решений:

Тогда очевидно, что

Значит, если пара удовлетворяет условию то и пара удовлетворяет ему. В таком случае получаем два решения при Значит,

С другой стороны, если пара не удовлетворяет условию то и пара не удовлетворяет ему. В таком случае у нас не будет решений при Тогда

Следовательно,