18.02 Задачи №18 из сборника И.В. Ященко

Введем новую неизвестную и получим систему

Тогда нам нужно найти при которых графики функций, задаваемых первым и вторым уравнением полученной системы, имеют ровно одну точку пересечения.

Рассмотрим первое уравнение:

Оно задает верхнюю полуокружность с центром радиуса 4.

 

Рассмотрим второе уравнение:

Оно задает ломаную, состоящую из двух лучей, стык которых происходит в точке Следовательно, при изменении от до точка движется по оси снизу вверх.

Заметим, что правая ветка ломаной всегда имеет наклон а вот наклон левой ветки меняется от до при изменении

Так как голубой график находится в верхней полуплоскости, а ломаная при — в нижней, то общих точек они не будут иметь. Следовательно, рассматриваем только случай

Граничные случаи:

Положение левая ветка ломаной проходит через точку

Подставим координаты точки в уравнение левой ветки ломаной

Положение Правая ветка проходит через точку

Подставим координаты точки в уравнение правой ветки ломаной

Положение Правая ветка касается полуокружности.

Найдем при которых прямая касается окружности

Расстояние от центра окружности до прямой должно быть равно радиусу окружности:

Нужно выбрать бОльшее значение параметра так как касание окружности происходит сверху, то есть нам подходит

До положения 1 — нет общих точек.

Положение 1 — одна общая точка.

От положения 1 до положения 2 — одна общая точка.

Положение 2 — две общих точки.

От положения 2 до положения 3 — две общих точки.

Положение 3 — одна общая точка.

После положения 3 — нет общих точек.

Итоговый ответ: