Тема 18. Задачи с параметром

18.02 Задачи №18 из сборника И.В. Ященко

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#111606

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений

{ 2 2 (|x− 1|+ |x +1|− 4) +(|y− 1|+ |y+ 1|− 2) = 4 ay = x+ 5

имеет одно или два решения.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 20

Показать ответ и решение

Сделаем замену

({ t= |x− 1|+|x+ 1| (z = |y− 1|+ |y+ 1|

Тогда имеем

(|{− 2x, x < −1 (1,0) t= 2,− 1≤ x≤ 1 (2,0) |(2x, x >1 (3,0)

( (0,1) |{− 2y, y < −1 z = |(2,− 1≤ y ≤ 1 (0,2) 2y, y >1 (0,3)

Следовательно, получаем на плоскости $xOy$ девять областей, на которые прямые $x= ±1$ и $y = ±1$ разбивают эту плоскость:

$xy(((((((((1,2,3,1,2,3,1,2,3,111222333)))))))))$

Рассмотрим первое уравнение в каждой из этих областей:

(1,3):

$x< −1,$ $y > 1.$ Тогда

(− 2x− 4)2 +(2y− 2)2 = 4 2 2 4(x+ 2) + 4(y − 1) = 4 (x+ 2)2+ (y − 1)2 = 1

(2,3):

$− 1≤ x≤ 1,$ $y > 1.$ Тогда

(2− 4)2+ (2y− 2)2 = 4 2 (2y− 2) =0 y =1

(3,3):

$x> 1,$ $y >1.$ Тогда

(2x− 4)2+ (2y − 2)2 = 4 2 2 4(x− 2) + 4(y − 1) = 4 (x− 2)2+ (y − 1)2 = 1

(1,2):

$x< −1,$ $− 1≤ y ≤ 1.$ Тогда

(−2x − 4)2+ (2 − 2)2 = 4 2 4(x+ 2) =4 (x+ 2)2 = 1 ⇔ x= −3;−1

(2,2):

$− 1≤ x≤ 1,$ $− 1≤ y ≤ 1.$ Тогда

(2− 4)2+ (2 − 2)2 = 4 4= 4

Так как в этом случае равенство выполнено для любых $x$ и $y,$ получаем всю область, заданную условиями $− 1≤ x ≤ 1$ и $− 1≤ y ≤ 1.$

(3,2):

$x> 1,$ $− 1 ≤y ≤ 1.$ Тогда

(2x − 4)2+ (2− 2)2 = 4 2 4(x− 2) =4 (x− 2)2 = 1 ⇔ x =1;3

(1,1):

$x< −1,$ $y < −1.$ Тогда

2 2 (−2x− 4) + (− 2y− 2) =4 4(x+ 2)2+ 4(y +1)2 = 4 (x+ 2)2+ (y +1)2 = 1

(2,1):

$− 1≤ x≤ 1,$ $y < −1.$ Тогда

2 2 (2− 4) +(− 2y − 2) = 4 4(y+ 1)2 =0 (y +1)2 = 0 ⇔ y =− 1

(3,1):

$x> 1,$ $y <− 1.$ Тогда

2 2 (2x − 4) + (−2y− 2) = 4 4(x− 2)2+ 4(y +1)2 = 4 (x− 2)2+ (y +1)2 = 1

Таким образом, график первого уравнения таков:

$xy−−−1 331$

Рассмотрим второе уравнение исходной системы. При $a= 0$ оно задает прямую $x =− 5,$ которая не пересекает график первого уравнения, поэтому $a =0$ нам не подходит. Далее будем рассматривать $a⁄= 0.$

Преобразуем второе уравнение исходной системы:

1 y = a(x + 5)

Пусть $p = 1. a$ Графиком этого уравнение при всех $p$ является пучок прямых, проходящих через точку $(−5,0).$ Изобразим граничные положения этих прямых:

$xy−−−1−IIIIVVIIVI3315I$

I:: прямая $y = p(x+ 5)$ касается части окружности $2 2 (x +2) + (y+ 1) =1.$ Следовательно, расстояние от центра этой окружности до прямой $px − y +5p = 0$ равно радиусу этой окружности: $|(−2)⋅p-+∘(−1)⋅(−1)+-5p|= 1 p2+ 1 ∘p2-+1-= |3p+ 1| p2+ 1= 9p2+ 6p+ 1 2 3 8p + 6p= 0 ⇔ p = 0;− 4$
Так как при $p= 0$ горизонтальная прямая $y = 0$ очевидно не касается синего графика, то получаем:
$3 pI = −4$
II:: прямая $y = p(x+ 5)$ касается части окружности $(x − 2)2+ (y+ 1)2 =1.$ Следовательно, расстояние от центра этой окружности до прямой $px − y +5p = 0$ равно радиусу этой окружности: $|2⋅p+-(∘−1)⋅(−1)+-5p| =1 p2+ 1 ∘p2-+1-= |7p+ 1| p2+ 1= 49p2+ 14p +1 2 -7 48p + 14p = 0 ⇔ p= 0;−24$
Так как при $p= 0$ горизонтальная прямая $y = 0$ очевидно не касается синего графика, то получаем:
$-7 pII = −24$
III:: прямая $y =p(x+ 5)$ проходит через точку $(− 1;− 1):$ $− 1= p⋅(−1+ 5) ⇔ pIII =− 1 4$
IV:: прямая $y =p(x+ 5)$ проходит через точку $(− 1;1):$ $1 1= p⋅(−1+ 5) ⇔ pIV = 4$
V:: прямая $y = p(x+ 5)$ касается части окружности $(x − 2)2+ (y− 1)2 =1.$ Следовательно, расстояние от центра этой окружности до прямой $px − y +5p = 0$ равно радиусу этой окружности: $|2⋅p-+∘1-⋅(−-1)+-5p|= 1 p2+ 1 ∘ -2--- p +1 = |7p− 1| p2+ 1= 49p2− 14p +1 2 7 48p − 14p= 0 ⇔ p = 0;24-$
Так как при $p= 0$ горизонтальная прямая $y = 0$ очевидно не касается синего графика, то получаем:
$7 pV = 24-$
VI:: прямая $y = p(x+ 5)$ касается части окружности $(x +2)2+ (y− 1)2 =1.$ Следовательно, расстояние от центра этой окружности до прямой $px − y +5p = 0$ равно радиусу этой окружности: $|(−-2)⋅p∘+-1⋅(−1)+-5p| =1 p2+ 1 ∘p2-+1-= |3p− 1| p2+ 1= 9p2− 6p+ 1 2 3 8p − 6p= 0 ⇔ p= 0;4$
Так как при $p= 0$ горизонтальная прямая $y = 0$ очевидно не касается синего графика, то получаем:
$3 pVI = 4$

При увеличении параметра $p$ прямая поворачивается против часовой стрелки. Тогда одно или два решения будет при $p∈ [p ;p )∪ (p ;p ]. I II V VI$

То есть $[ 3 7 ) ( 7 3 ] p∈ −4;− 24 ∪ 24;4 .$

Тогда так как $1 a= p,$ окончательно получаем:

( ] [ ) a ∈ − 24;− 4 ∪ 4; 24 . 7 3 3 7

Ответ:

( 24 4] [4 24) a∈ − 7-;− 3 ∪ 3;-7

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

18.02 Задачи №18 из сборника И.В. Ященко

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ