18.02 Задачи №18 из сборника И.В. Ященко

Сделаем замену Тогда система примет вид

Заметим, что числу не соответствует ни одного числу соответствует ровно один числу соответствует ровно два Также заметим, что каждому соответствует ровно один Следовательно, исходная система будет иметь ровно два решения, если новая система будет иметь решения, причем ровно одно из них имеет вид с а у остальных решений координата отрицательна.

Так как то из системы получаем, что

Следовательно, систему можно переписать в виде

Тогда по обратной теореме Виета получаем, что числа и являются корнями квадратного уравнения

Следовательно, система имеет решения, если дискриминант полученного квадратного уравнения неотрицателен. Найдем этот дискриминант:

1.

Тогда система имеет одно решение , причем

Следовательно, при получаем Этот случай нам подходит.

При получаем Этот случай нам не подходит.

2.

Следовательно, система имеет два решения и (решения симметричны в силу симметричности системы ). Нам нужно, чтобы . То есть то есть произведение корней квадратного уравнения должно быть отрицательно:

Эти значения параметра удовлетворяют условию

Объединив полученные в обоих случаях значения параметра, получаем ответ