18.02 Задачи №18 из сборника И.В. Ященко

Сделаем замену тогда неравенство примет вид

Рассмотрим функцию Тогда неравенство имеет вид

и необходимо, чтобы оно было выполнено при всех

Исследуем функцию Ее производная равна

В зависимости от знака выражения производная имеет один нуль, два нуля или не имеет нулей. Следовательно, рассмотрим эти случаи по отдельности.

1.

Пусть Тогда

Определим знаки производной на промежутках, образованных нулями производной и нарисуем схематично график функции

Мы не знаем, как располагается отрезок относительно точек и . Следовательно, рассмотрим два случая.

1.1.

Тогда в силу симметрии точек и относительно ровно как и точек и имеем Следовательно, схематично график функции выглядит так:

Следовательно, неравенство будет выполнено для всех если

В пересечении с получаем пустое множество. Следовательно, в этом случае подходящих значений параметра нет.

1.2.

Тогда Схематично график функции выглядит так:

Следовательно, неравенство будет выполнено для всех если

Сделаем замену тогда первое неравенство примет вид

Сделаем обратную замену:

Пересекая с получаем подходящие значения параметра :

2.

Пусть тогда следовательно, график функции схематично выглядит так:

Следовательно, неравенство будет выполнено для всех если

Пересекая с получаем

Следовательно, ответ: