18.02 Задачи №18 из сборника И.В. Ященко

По условию Функция определена при всех Найдем производную функции

Нули производной:

В зависимости от того, равен или не равен параметр нулю, второе уравнение совокупности является линейным или квадратичным. Поэтому рассмотрим эти два случая.

1)

Тогда совокупность примет вид

Производная имеет вид

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

Следовательно, функция имеет ровно одну точку минимума — это которая лежит на отрезке Значит, этот случай нам подходит и — первая часть ответа.

2)

Тогда второе уравнение совокупности квадратное. Его дискриминант равен Следовательно, нужно по отдельности рассмотреть случаи, когда дискриминант меньше нуля, равен нулю или больше нуля.

2.1)

Тогда производная имеет один нуль — это а выражение при всех Следовательно, знаки производной такие:

Следовательно, функция имеет ровно одну точку минимума — это которая лежит на отрезке Значит, этот случай нам подходит и — вторая часть ответа.

2.2)

Тогда нуль второго уравнения совокупности — это Следовательно, производная имеет вид Знаки производной такие:

Следовательно, функция имеет ровно одну точку минимума — это которая лежит на отрезке Значит, этот случай нам подходит и — третья часть ответа.

2.3)

но также Тогда второе уравнение совокупности имеет два нуля: Заметим, что по теореме Виета из произведение сумма следовательно, Тогда производная имеет вид и знаки производной такие:

Следовательно, функция имеет две точки минимума — это и Так как то Следовательно, необходимо, чтобы

Рассмотрим параболу Она имеет направленные вверх ветви и две точки пересечения с осью абсцисс. Чтобы больший корень уравнения был больше 1, достаточно, чтобы хотя бы один корень был больше 1. Это задается следующими условиями (сразу укажем в них, что ):

Следовательно, — четвертая часть ответа.

Объединяя все подходящие значения параметра, получаем итоговый ответ: