18.02 Задачи №18 из сборника И.В. Ященко

Перепишем неравенство в виде

Будем рассматривать параметр как переменную. Построим в системе координат множества и решений первой и второй системы соответственно. Если некоторая точка плоскости с координатами принадлежит одному из множеств или то для исходной задачи это означает, что если параметр принимает значение то будет одним из решений соответствующего уравнения.

Нас просят найти все такие значения параметра при каждом из которых все точки вида , принадлежат множеству решений изображенному на плоскости

Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая пересекается со множеством по отрезку на котором расположены точки, абсциссы которых лежат в промежутке

Рассмотрим две функции

Тогда множество решений первой системы состоит из точек, находящихся внутри уголка и внутри параболы Множество решений второй системы состоит из точек, находящихся снаружи уголка и снаружи параболы. Точки, находящиеся на уголке или на параболе, также принадлежат множеству

Для того, чтобы правильно изобразить множество необходимо найти точки пересечения уголка и параболы. Для левой ветви уголка получаем

Следовательно, левая ветвь уголка касается параболы в точке

Для правой ветви уголка получаем

Следовательно, правая ветвь уголка пересекает параболу в двух точках. В итоге получаем, что множество выглядит следующим образом:

— точка пересечения прямой с параболой, — точка пересечения прямой с уголком. Видим, что все горизонтальные прямые где или или пересекают множество по множеству, содержащему в себе отрезок где Следовательно, ответ: