18.02 Задачи №18 из сборника И.В. Ященко

Преобразуем систему:

Заметим, что в первом уравнении совокупности не является решением, следовательно, можно разделить обе части равенства на и получить тем самым

Назовем множеством множество точек плоскости которые лежат на гиперболе или на прямой но не ниже прямой Для того, чтобы понять, как выглядит множество на плоскости, нужно найти точки пересечения графиков и Для этого нужно решить систему

Получаем точки

Следовательно, множество на плоскости выглядит следующим образом:

Нужно, чтобы прямая имела две точки пересечения со множеством Отметим граничные положения прямой

•   проходит через точку тогда система имеет 1 решение;
• между и  система имеет 2 решения;
•   проходит через точку тогда система имеет 2 решения;
• между и  система имеет 3 решения;
•   касается нижней части гиперболы, тогда система имеет 2 решения;
• между и  система имеет 1 решение;
•   касается верхней части гиперболы, тогда система имеет 2 решения;
• выше  система имеет 3 решения.

Определим, при каких точка принадлежит прямой

Определим, при каких точка принадлежит прямой

Определим, при каких прямая касается гиперболы Тогда уравнение

должно иметь одно решение. Следовательно,

Следовательно, ответ