18.02 Задачи №18 из сборника И.В. Ященко

Перепишем уравнение в виде

Полученная система должна иметь единственное решение

Заметим, что первое уравнение системы задает верхнюю полуокружность с центром в точке и радиусом

Второе уравнение задает «уголок», вершина которого движется по оси . Ордината вершины уголка равна При ветви уголка направлены вверх, а при ветви уголка направлены вниз, а при уголок вырождается в горизонтальную прямую, а

Необходимо, чтобы уголок с полуокружностью имели ровно одну точку пересечения.

Изобразим возможные положения уголка относительно полуокружности, при которых они имеют ровно одну точку пересечения, а также граничные положения уголка.

Координаты точек Описание случаев:

(1)

Уголок проходит через точку

(2)

Уголок проходит через точку

(3)

Уголок проходит через точку

Также есть случай (4), когда уголок может касаться полуокружности.

Случай 1:

Случай 2:

Тогда при уголок имеет с полуокружностью ровно одну точку пересечения.

Случай 3:

При этом уголок имеет одну точку пересечения с полуокружностью.

Случай 4. Уголок может касаться полуокружности левой ветвью или правой ветвью. Рассмотрим эти случаи по отдельности.

Левая ветвь. Тогда Уравнение левой ветви выглядит следующим образом: Если она касается полуокружности, то расстояние от центра полуокружности до этой ветви равно радиусу полуокружности:

Это уравнение не имеет решений, следовательно, этот случай невозможен.

Правая ветвь. Тогда Уравнение правой ветви выглядит следующим образом: Если она касается полуокружности, то расстояние от центра полуокружности до этой ветви равно радиусу полуокружности:

Это уравнение не имеет решений, так как дискриминант отрицателен, следовательно, этот случай невозможен.

Значит, исходное уравнение имеет ровно один корень при