Тема 18. Задачи с параметром

18.02 Задачи №18 из сборника И.В. Ященко

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#51942Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых неравенство

(4|x|− a− 3)(x2− 2x− 2− a)≤ 0

имеет хотя бы одно решение из промежутка $[−4;4].$

Показать ответ и решение

Перепишем неравенство в виде

( ⌊ {a ≥ 4|x|− 3 || ( 2 || (a ≤ (x − 1) − 3 || {a ≤ 4|x|− 3 ⌈ ( 2 a ≥ (x − 1) − 3

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множества $U1$ и $U2$ решений первой и второй системы соответственно. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x0;a0)$ принадлежит одному из множеств $U1$ или $U2,$ то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a , 0$ то $x 0$ будет одним из решений соответствующего уравнения.

Нас просят найти все такие значения $a0$ параметра $a,$ при каждом из которых существует точка вида $(x0;a0)$ , $x0 ∈[−4;4],$ принадлежащая множеству решений $S = U1 ∪U2,$ изображенному на плоскости $xOa.$

Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a= a 0$ пересекается со множеством $S$ хотя бы по одной точке с абсциссой, принадлежащей промежутку $[− 4;4].$

Рассмотрим две функции

a1(x)= 4|x|− 3 и a2(x)= (x− 1)2 − 3.

Тогда множество $U1$ решений первой системы состоит из точек, находящихся внутри уголка $a = a1,$ но снаружи параболы $a= a2.$ Множество $U2$ решений второй системы состоит из точек, находящихся снаружи уголка, но внутри параболы. Точки, находящиеся на уголке или на параболе, также принадлежат множеству $S = U1 ∪U2.$

Для того, чтобы правильно изобразить множество $S,$ необходимо найти точки пересечения уголка и параболы. Для левой ветви уголка $al = −4x− 3,$ $x ≤ 0,$ получаем

2 x − 2x− 2 =− 4x− 3 ⇔ x= − 1.

Следовательно, левая ветвь уголка касается параболы в точке $A (− 1;1).$

Для правой ветви уголка $ar = 4x− 3,$ $x ≥ 0,$ получаем

2 √- x − 2x− 2= 4x− 3 ⇔ x = 3± 2 2.

Следовательно, правая ветвь уголка пересекает параболу в двух точках. В итоге получаем, что множество $S$ выглядит следующим образом:

$xa−1−241−14233$

Видим, что для любой горизонтальной прямой $a= a , 0$ где $a ∈ [− 3;22], 0$ существует точка, абсцисса которой лежит в отрезке $[−4;4],$ лежащая в закрашенной области. Следовательно, ответ:

a ∈ [−3;22].

Ответ:

$a ∈[−3;22]$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#51945Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых любое значение из промежутка $[− 1,5;−0,5]$ является решением неравенства

( 2 ) (4|x|− a− 3) x − 2x− 2− a ≥ 0.

Показать ответ и решение

Перепишем неравенство в виде

( ⌊ {a ≥ 4|x|− 3 || ( 2 || (a ≥ (x − 1) − 3 || {a ≤ 4|x|− 3 ⌈ ( 2 a ≤ (x − 1) − 3

Нас просят найти все такие значения $a0$ параметра $a,$ при каждом из которых все точки вида $(x0;a0)$ , $x0 ∈ [−1,5;− 0,5],$ принадлежат множеству решений $S = U1 ∪U2,$ изображенному на плоскости $xOa.$

Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a= a 0$ пересекается со множеством $S$ по отрезку $AB,$ на котором расположены точки, абсциссы которых лежат в промежутке $[−1,5;− 0,5].$

Рассмотрим две функции

a1(x)= 4|x|− 3 и a2(x)= (x− 1)2 − 3.

Тогда множество $U1$ решений первой системы состоит из точек, находящихся внутри уголка $a = a1$ и внутри параболы $a = a2.$ Множество $U2$ решений второй системы состоит из точек, находящихся снаружи уголка и снаружи параболы. Точки, находящиеся на уголке или на параболе, также принадлежат множеству $S = U1 ∪U2.$

2 x − 2x− 2 =− 4x− 3 ⇔ x= − 1.

Следовательно, левая ветвь уголка касается параболы в точке $K (−1;1).$

Для правой ветви уголка $ar = 4x− 3,$ $x ≥ 0,$ получаем

2 √- x − 2x− 2= 4x− 3 ⇔ x = 3± 2 2.

$xa−3−1−−1,2101,5,55$

$(−1,5;3,25)$ — точка пересечения прямой $x =− 1,5$ с параболой, $(−0,5;− 1)$ — точка пересечения прямой $x = −0,5$ с уголком. Видим, что все горизонтальные прямые $a= a0,$ где $a0 ≥ 3,25,$ или $a0 = 1,$ или $a0 ≤ − 1,$ пересекают множество $S$ по множеству, содержащему в себе отрезок $AB,$ где $A(−1,5;a0),$ $B (− 0,5;a0).$ Следовательно, ответ: