Тема 13. Решение уравнений

13.02 Задачи №13 из сборника И.В. Ященко

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#104325

a) Решите уравнение $( ) sin4 x− cos4 x= cos x − 3π- . 4 4 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[− 4π;− π].$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 1

Показать ответ и решение

а) По формуле разности квадратов и по формуле приведения получаем:

( 2 x 2 x ) ( 2 x 2 x ) sin 4 + cos 4 ⋅ sin 4 − cos 4 = − sinx.

По основному тригонометрическому тождеству

x x sin24 +cos24 = 1.

По формуле косинуса двойного угла

sin2 x − cos2 x= − cos x. 4 4 2

Тогда уравнение примет вид:

( x ) x x 1⋅ − cos2 = −2sin2 cos 2 ( ) cos x⋅ 2sin x − 1 = 0 2 2

Получаем

$pict$

б) Отберем корни в каждой серии с помощью неравенств.

Серия $x = π+ 2πk,$ $k ∈Z :$

−4π ≤ π+ 2πk ≤ −π − 4≤ 1+ 2k ≤ −1 −5≤ 2k ≤− 2 − 2,5 ≤k ≤ −1

Тогда целочисленными решениями неравенства являются $k = −2$ и $k = −1.$ То есть $x= − 3π$ и $x= − π.$

Серия $x = π-+4πk, 3$ $k ∈ ℤ:$

π −4π ≤ 3 + 4πk ≤ − π 1 −4 ≤ 3 + 4k ≤ − 1 − 12≤ 1+ 12k ≤ −3 −13≤ 12k ≤ − 4 13 1 − 12 ≤ k ≤− 3

Тогда целочисленным решением неравенства является $k = − 1,$ то есть $11π x = −-3-.$

Серия $x = 5π +4πk, 3$ $k ∈ ℤ:$

− 4π ≤ 5π +4πk ≤ −π 3 −4 ≤ 5+ 4k ≤ − 1 3 − 12≤ 5+ 12k ≤ −3 −17≤ 12k ≤ − 8 − 17≤ k ≤− 2 12 3

Тогда целочисленным решением неравенства является $k = − 1,$ то есть $x = − 7π. 3$

Следовательно, на отрезке $[−4π;−π]$ лежат решения $11π − -3-;$ $− 3π;$ $7π − 3-;$ $− π.$

Ответ:

а) $π + 2πk;$ $π-+4πk; 3$ $5π+ 4πk, 3$ $k ∈ℤ$

б) $− 11π ; −3π; − 7π; −π 3 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

13.02 Задачи №13 из сборника И.В. Ященко

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ