Тема 13. Решение уравнений

13.02 Задачи №13 из сборника И.В. Ященко

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#104325

a) Решите уравнение $( ) sin4 x− cos4 x= cos x − 3π- . 4 4 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[− 4π;− π].$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 1

Показать ответ и решение

а) По формуле разности квадратов и по формуле приведения получаем:

( 2 x 2 x ) ( 2 x 2 x ) sin 4 + cos 4 ⋅ sin 4 − cos 4 = − sinx.

По основному тригонометрическому тождеству

x x sin24 +cos24 = 1.

По формуле косинуса двойного угла

sin2 x − cos2 x= − cos x. 4 4 2

Тогда уравнение примет вид:

( x ) x x 1⋅ − cos2 = −2sin2 cos 2 ( ) cos x⋅ 2sin x − 1 = 0 2 2

Получаем

$pict$

б) Отберем корни в каждой серии с помощью неравенств.

Серия $x = π+ 2πk,$ $k ∈Z :$

−4π ≤ π+ 2πk ≤ −π − 4≤ 1+ 2k ≤ −1 −5≤ 2k ≤− 2 − 2,5 ≤k ≤ −1

Тогда целочисленными решениями неравенства являются $k = −2$ и $k = −1.$ То есть $x= − 3π$ и $x= − π.$

Серия $x = π-+4πk, 3$ $k ∈ ℤ:$

π −4π ≤ 3 + 4πk ≤ − π 1 −4 ≤ 3 + 4k ≤ − 1 − 12≤ 1+ 12k ≤ −3 −13≤ 12k ≤ − 4 13 1 − 12 ≤ k ≤− 3

Тогда целочисленным решением неравенства является $k = − 1,$ то есть $11π x = −-3-.$

Серия $x = 5π +4πk, 3$ $k ∈ ℤ:$

− 4π ≤ 5π +4πk ≤ −π 3 −4 ≤ 5+ 4k ≤ − 1 3 − 12≤ 5+ 12k ≤ −3 −17≤ 12k ≤ − 8 − 17≤ k ≤− 2 12 3

Тогда целочисленным решением неравенства является $k = − 1,$ то есть $x = − 7π. 3$

Следовательно, на отрезке $[−4π;−π]$ лежат решения $11π − -3-;$ $− 3π;$ $7π − 3-;$ $− π.$

Ответ:

а) $π + 2πk;$ $π-+4πk; 3$ $5π+ 4πk, 3$ $k ∈ℤ$

б) $− 11π ; −3π; − 7π; −π 3 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#104326

а) Решите уравнение $( ) cos4 x− sin4 x= sin x− π- . 4 4 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[π;5π].$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 2

Показать ответ и решение

а) По формуле разности квадратов и по формуле приведения получаем:

( 2 x 2 x) ( 2 x 2 x ) cos 4 − sin 4 ⋅ cos 4 + sin 4 = − cosx.

По основному тригонометрическому тождеству

x x cos24 +sin24 = 1.

По формуле косинуса двойного угла

cos2 x − sin2 x = cos x. 4 4 2

Тогда уравнение примет вид:

x cos2 = − cosx x ( x ) cos2 = − 2cos2 2 − 1 x x 2cos2 2 + cos2 − 1 = 0 ( x ) ( x ) cos2 +1 ⋅ 2cos 2 − 1 =0

Получаем

$pict$

б) Отберем корни в каждой серии с помощью неравенств.

Серия $x = 2π+ 4πk,$ $k ∈Z :$

π ≤ 2π +4πk ≤ 5π 1≤ 2+ 4k ≤ 5 − 1≤ 4k ≤ 3 −0,25 ≤k ≤ 0,75

Тогда целочисленным решением неравенства является $k =0,$ то есть $x = 2π.$

Серия $2π x = 3 +4πk,$ $k ∈ Z :$

2π π ≤-3 + 4πk ≤ 5π 1 ≤ 2+ 4k ≤ 5 3 3≤ 2+ 12k ≤ 15 1 ≤12k ≤13 1 13 12 ≤ k ≤ 12

Тогда целочисленным решением неравенства является $k =1,$ то есть $x = 14π. 3$

Серия $2π x = − 3 + 4πk,$ $k ∈ Z :$

π ≤ − 2π+ 4πk ≤5π 3 1≤ − 2 + 4k ≤ 5 3 3≤ − 2+ 12k ≤ 15 5 ≤12k ≤17 -5 ≤ k ≤ 17 12 12

Тогда целочисленным решением неравенства является $k =1,$ то есть $x = 10π. 3$

Следовательно, на отрезке $[π;5π]$ лежат решения $2π;$ $10π -3-;$ $14π -3-.$

Ответ:

а) $2π + 4πk;$ $± 2π +4πk, 3$ $k ∈ ℤ$

б) $2π;$ $10π ; 3$ $14π 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#104327

а) Решите уравнение $( ) ( ) 2sin2 x − π- ⋅sin2 x + π- = cos4x. 2 4 2 4$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[− 3π;− 2π].$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 3

Показать ответ и решение

а) По формуле понижения степени получаем:

( π-) ( π) 2⋅ 1-− cos-x−-2-⋅ 1-−-cos-x-+-2 = cos4x. 2 2

По формулам приведения

$pict$

Тогда уравнение примет вид

(1−-sinx)(1+-sinx)- 4 2 ⋅ 4 =cos x 1− sin2x= 2cos4x 2 4 cos(x = 2cosx) cos2x⋅ 2cos2x− 1 = 0 cos2x⋅cos2x= 0

Получаем

$pict$

б) Отберем корни в каждой серии с помощью неравенств.

Серия $π x = 2-+πk,$ $k ∈ Z :$

−3π ≤ π+ πk ≤− 2π 2 − 3≤ 1 +k ≤ −2 2 − 6≤ 1+ 2k ≤ −4 −7≤ 2k ≤− 5 −3,5 ≤ k ≤ −2,5

Тогда целочисленным решением неравенства является $k = − 3,$ то есть $x = − 5π. 2$

Серия $π πk x = 4-+ 2-,$ $k ∈Z :$

− 3π ≤ π-+ πk-≤ −2π 4 2 − 3≤ 1+ k ≤ −2 4 2 −12≤ 1+ 2k ≤− 8 − 13 ≤ 2k ≤ −9 −6,5 ≤ k ≤ −4,5

Тогда целочисленными решениями неравенства являются $k = −6$ и $k = −5,$ то есть $x= − 11π 4$ и $x= − 9π. 4$

Следовательно, на отрезке $[−3π;−2π]$ лежат решения $− 11π; 4$ $− 5π ; 2$ $9π − 4 .$

Ответ:

а) $π+ πk; 2$ $π+ πk-, 4 2$ $k ∈ ℤ$

б) $− 11π ; − 5π ; − 9π. 4 2 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#104328

а) Решите уравнение $( ) ( ) 3cos2 x+ π- ⋅cos2 x− π- = cos4x. 2 4 2 4$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[3π;4π].$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 4

Показать ответ и решение

а) По формуле понижения степени получаем:

( π-) ( π) 3⋅ 1-+cos-x+-2-⋅ 1-+-cos-x-−-2 = cos4x. 2 2

По формулам приведения

$pict$

Уравнение примет вид:

(1−-sin-x)⋅(1+-sin-x) 4 3⋅ 4 = cosx 3⋅(1− sin2x)= 4cos4x 2 4 3 cos x= 4 cos x 4cos4x − 3cos2x = 0 cos2x⋅(4cos2x− 3)= 0 ( ) cos2x ⋅ 4⋅ 1+-cos2x− 3 = 0 2 cos2x⋅(2cos2x− 1)= 0

Получаем

$pict$

б) Отберем корни в каждой серии с помощью неравенств.

Серия $x = π-+πk, 2$ $k ∈ Z :$

π- 3π ≤ 2 + πk ≤4π 1 3≤ 2 +k ≤ 4 6≤ 1+ 2k ≤ 8 5≤ 2k ≤7 2,5 ≤ k ≤ 3,5

Тогда целочисленным решением неравенства является $k =3,$ то есть $7π x = 2-.$

Серия $x = π-+πk, 6$ $k ∈ Z :$

3π ≤ π+ πk ≤4π 6 3≤ 1 +k ≤ 4 6 18≤ 1+ 6k ≤ 24 17≤ 6k ≤23 25 ≤ k ≤ 35 6 6

Тогда целочисленным решением неравенства является $k =3,$ то есть $x = 19π. 6$

Серия $π- x = − 6 + πk,$ $k ∈Z :$

3π ≤ − π-+ πk ≤ 4π 6 3≤ − 1+ k ≤4 6 18≤ −1 +6k ≤ 24 19≤ 6k ≤25 31 ≤ k ≤ 41 6 6

Тогда целочисленным решением неравенства является $k =4,$ то есть $x = 23π. 6$

Следовательно, на отрезке $[3π;4π]$ лежат решения $19π -6-;$ $7π -2 ;$ $23π -6-.$

Ответ:

а) $π+ πk; 2$ $± π+ πk, 6$ $k ∈ ℤ$

б) $19π; 7π; 23π-. 6 2 6$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#104329

a) Решите уравнение $( ) ( ) log20,5 x2 − 4log8x4 =1.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[− 0,9;2,9].$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 5

Показать ответ и решение

а)

log2 (x2)− 4log (x4)= 1 2 0(,52) 8( 2)2 log2−1 x − 4log23 x − 1 = 0 --1--log2(x2)− 4⋅2-log (x2)− 1= 0 (−1)2 2 3 2 log2(x2) − 8log (x2)− 1= 0 2 3 2

Умножим обе части уравнения на 3:

2 (2) (2) ( 3log2(x) − 8)l(og2x( −) 3 =)0 3log2 x2 +1 log2 x2 − 3 = 0

Получаем:

$pict$

б) Отберем корни. Рассмотрим каждый корень отдельно.

1.

$x= 6√0,5.$ Заметим, что

6∘--- − 0,9< 0 < 0,5< 1< 2,9.

Значит, $6√--- 0,5 ∈[−0,9;2,9].$

2.

$√--- x= − 60,5.$ Сравним 0,9 и $√--- 60,5:$

∘6--- 0,9 ∨ 0,5 0,81∨ 3∘0,5- 0,813∨ 0,5

Заметим, что

3 3 0,81 > 0,8 =0,512> 0,5.

Значит, $6√ --- 0,9> 0,5,$ то есть $6√--- − 0,9< − 0,5.$

Следовательно, $√ --- − 6 0,5∈ [− 0,9;2,9].$

3.

$x= 2√2.$ Заметим, что

√- √- ∘ ---- ∘---- 0< 2 2 = 8< 8,41 = 2,92 = 2,9.

Значит $√- 2 2 ∈[−0,9;2,9].$

4.

$x= −2√2.$ Так как

− 2√2< − 2< −0,9,

то $− 2√2 ∕∈ [−0,9;2,9].$

Ответ:

а) $--- √ - ± 6√0,5; ±2 2$

б) $√ --- √ - ± 60,5; 2 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#104330

a) Решите уравнение $( ) ( ) log225 x4 + log0,2 x8 + 3= 0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[− 2,3;11,3].$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 6

Показать ответ и решение

а)

log2(x4)+ log (x8)+ 3= 0 225(4) 0,2( 4)2 log52x + log5−1 x + 3= 0 1-log2(x4)− 2log (x4)+ 3= 0 22 5 5

Умножим обе части уравнения на 4:

2 (4) (4) (log5(x )− 8l)o(g5x( +) 12=) 0 log5 x4 − 2 log5 x4 − 6 =0

Получаем:

$pict$

б) Отберем корни. Рассмотрим каждый корень отдельно.

1.: $√- x= 5.$ Заметим, что $√- −2,3< 0< 5 < 3< 11,3.$
Значит, $√5-∈ [− 2,3;11,3].$
2.: $√ - x= − 5.$ Заметим, что $∘ ---2 ∘ ---- √- − 2,3= − 2,3 = − 5,29< − 5< 0 < 11,3.$
Значит, $√- − 5∈ [−2,3;11,3].$
3.: $√- x= 5 5.$ Заметим, что $√ - √--- ∘ ----- − 2,3< 0 <5 5= 125 < 127,69 =11,3.$
Значит, $√ - 5 5∈ [− 2,3;11,3].$
4.: $√ - x= −5 5.$ Заметим, что $√- − 5 5< − 5< −2,3.$
Значит, $− 5√5-∕∈ [− 2,3;11,3].$

Ответ:

а) $√- √- ± 5; ±5 5$

б) $√ - √- ± 5; 5 5$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#104331

a) Решите уравнение $4sin3x-−-2sinx-= 1. sin(2x− π)$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] −3π;− π . 2$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 7

Показать ответ и решение

а) По формуле приведения $sin (2x − π) =− sin2x.$ Тогда уравнение примет вид:

4sin3x− 2sinx ---−-sin2x----= 1.

Это уравнение равносильно системе:

{ 4sin3x− 2sinx= − sin2x sin2x⁄= 0

Решим первое уравнение в системе:

4sin3x − 2 sinx =− sin 2x 3 4sin x−( 2sinx+ 2sin x⋅cos)x= 0 sinx ⋅4sin2x− 2+ 2cosx = 0 sinx ⋅(4 ⋅(1 − cos2x)− 2+ 2cosx)= 0 ( 2 ) sinx ⋅−(4cos2x + 2cosx +)2 = 0 sin x⋅ 2cosx − cosx − 1 = 0 sinx ⋅(cosx− 1)⋅(2cosx + 1)= 0

Получаем:

⌊ ⌊ sinx= 0 x =πk, k ∈ ℤ ||cosx =1 ⇔ ||x =2πk, k ∈ ℤ ⌈ 1 ⌈ 2π cosx =− 2 x =± 3 +2πk, k ∈ℤ

Заметим, что вместо первых двух уравнений мы можем записать одно уравнение $x= πk,$ $k ∈ ℤ.$

Тогда совокупность примет вид:

⌊ ⌈x= πk, k ∈ℤ x= ± 2π+ 2πk, k ∈ ℤ 3

Решим неравенство:

sin2x⁄= 0 2x⁄= πm, m ∈ℤ x⁄= πm, m ∈ℤ 2

Тогда система примет вид:

$pict$

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[−3π;− π], 2$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$−−−−−−−3π 8 4π π 2ππππ 2333$

Следовательно, на отрезке $[ π] − 3π;− 2$ лежат точки $8π − 3 ;$ $4π − 3$ и $− 2π. 3$

Ответ:

а) $± 2π+ 2πk, k ∈ℤ 3$

б) $− 8π ; − 4π-; − 2π 3 3 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#104332

a) Решите уравнение $4cos3(x−-6co)sx= 3. cos 2x− π- 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[3π ] 2-;4π .$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 8

Показать ответ и решение

а) По формуле приведения $( ) cos 2x− π- = sin2x. 2$ Тогда уравнение примет вид:

4cos3x− 6cosx ----sin-2x-----= 3.

Это уравнение равносильно системе:

{ 4cos3x − 6 cosx = 3sin2x sin2x⁄= 0

Решим первое уравнение в системе:

4cos3 x− 6cosx= 3sin 2x 3 4 cos x− 6cosx= 6 sinxcosx 4cos3 x− 6sinx cosx − 6 cosx = 0 cosx ⋅(4cos2x− 6sin x− 6)= 0 cosx⋅(2⋅(1− sin2x)− 3sinx − 3) = 0 ( 2 ) cosx − 2sin x− 3sinx− 1 = 0 − cosx ⋅(sinx+ 1)⋅(2sinx +1)= 0

Получаем:

$pict$

Заметим, что вместо первых двух уравнений мы можем записать одно уравнение $x= π+ πk, k ∈ℤ. 2$

Тогда совокупность примет вид:

⌊ π- |x= 2 + πk, k ∈ ℤ ||x= − π+ 2πk, k ∈ℤ |⌈ 65π x= − 6-+ 2πk, k ∈ ℤ

Решим неравенство:

sin2x⁄= 0 2x⁄= πm, m ∈ℤ πm- x⁄= 2 , m ∈ℤ

Тогда система примет вид:

( ⌊ π |||| x= 2-+ πk, k ∈ ℤ |||| |||x= − π+ 2πk, k ∈ℤ ⌊ π- |{ |⌈ 6 |x = −6 + 2πk, k ∈ ℤ || x= − 5π+ 2πk, k ∈ ℤ ⇔ ⌈ 5π ||||| 6 x = − 6 + 2πk, k ∈ ℤ ||( x⁄= πm-, m ∈ ℤ 2

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[3π ] 2 ;4π ,$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$371172ππ19π3πππ 422662π6-$

Следовательно, на отрезке $[ ] 3π-;4π 2$ лежат точки $11π; 6$ $19π 6$ и $23π. 6$

Ответ:

а) $− π+ 2πk;− 5π-+ 2πk, k ∈ ℤ 6 6$

б) $11π; 19π; 23π- 6 6 6$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#104333

a) Решите уравнение $√------ ( ) 4x2− 1⋅ 43x+1 − 26 ⋅8x +12 = 0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[− 1;1].$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 9

Показать ответ и решение

а) Уравнение равносильно системе:

(| [ 2 { 4x3x+−1 1= 0 x |( 42 − 26 ⋅8 +12 = 0 4x − 1≥ 0

Решим первое уравнение:

2 4x − 1= 0 2 1 x = 4 1 x =± 2

Решим второе уравнение:

43x+1 − 26 ⋅8x +12 = 0 43x⋅41− 26⋅(23)x +12 =0 6x 3x 4⋅2 − 26⋅2 + 12= 0

Сделаем замену $2 3x = t,$ получим:

4t2− 26t+ 12= 0 ⌊ 1 ⌈t= 2 t= 6

Сделаем обратную замену для первого корня:

23x = 1 2 23x = 2−1 1 x =− 3

И для второго корня:

23x = 6 3x= log2 6 log 6 x = -32--

Решим неравенство:

4x2− 1≥ 0 2 1 x ≥ 4 ( 1 ] [ 1 ) x ∈ −∞; −2 ∪ 2;+ ∞

Тогда система примет вид:

( ⌊ || x =± 1 |||| || 2 ||||{ ||x =− 1 |⌈ lo3g 6 |||| x = -32-- |||| ( ] [ ) ||( x∈ −∞; − 1 ∪ 1;+∞ 2 2

Заметим, что

log 6 log 4 2 1 -32--> -32--= 3 > 2.

Значит, исходное уравнение имеет следующие решения:

⌊x = ±1 |⌈ 2 x = log26- 3

б) Корни $x= − 0,5$ и $x =0,5$ очевидно принадлежат отрезку $[− 1;1].$

Далее заметим, что

log 6 log 8 3 −1< 0 < -32--< -32--= 3 < 1.

Таким образом, корень $log 6 x = --23--$ принадлежит отрезку $[− 1;1].$

То есть все найденные в пункте а) корни принадлежат отрезку $[−1;1].$

Ответ:

а) $− 0,5; 0,5; log26 3$

б) $log 6 − 0,5; 0,5; -32--$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#104334

а) Решите уравнение $√-------- ( ) 16− 25x2⋅ 93x+2− 163⋅27x+ 2 = 0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[0,4;4].$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 10

Показать ответ и решение

а) Уравнение равносильно системе:

(| [ 2 { 163x−+225x =0 x |( 9 −2163⋅27 + 2= 0 16 − 25x ≥0

Решим первое уравнение:

2 16− 25x = 0 x2 = 16 25 4 x =± 5

Решим второе уравнение:

3x+2 x 9 − 163⋅2(7)+ 2= 0 93x⋅92− 163⋅ 33 x+ 2 =0 81⋅36x− 163 ⋅33x +2 = 0

Сделаем замену $3 3x = t,$ получим:

81t2− 163t+ 2= 0 ⌊ -1 ⌈t= 81 t2 = 2

Сделаем обратную замену для первого корня:

33x = 1- 81 33x = 3−4 4 x =− 3

И для второго корня:

33x = 2 3x= log3 2 x = log32- 3

Решим неравенство:

16− 25x2 ≥ 0 2 16 x ≤ 25 [ 4 4] x ∈ − 5;5

Тогда система примет вид:

( ⌊ || x = ±4 |||| || 5 ||||{ ||x = − 4 |⌈ lo3g 2 |||| x = -33-- |||| [ ] ||( x ∈ − 4; 4 5 5

Заметим, что

log 2 log 3 1 0< --33--< --33--= 3.

Значит, исходное уравнение имеет следующие решения:

⌊x = ±4 |⌈ 5 x = log32- 3

б) Корень $x= −0,8$ не принадлежит отрезку $[0,4;4].$ Корень $x =0,8$ принадлежит отрезку $[0,4;4].$

Далее заметим, что

log32 log3 3 1 --3--< --3--= 3 < 0,4.

Таким образом, корень $log 2 x = --33--$ не принадлежит отрезку $[0,4;4].$

Итого, на отрезке $[0,4;4]$ лежит только корень $x = 0,8.$

Ответ:

а) $− 0,8; log32; 0,8 3$

б) 0,8

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#104335

a) Решите уравнение $√- sin x⋅cos2x − 3cos2x+ sinx = 0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 5π ;4π . 2$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 11

Показать ответ и решение

а) Воспользуемся формулой $cos2x= 2cos2 x− 1$ и получим:

sinx⋅(2cos2x− 1)− √3cos2x+ sinx = 0 2 √ - 2 2sinx⋅cosx − sinx− √ 3cosx + sinx= 0 2sinx ⋅cos2x− 3cos2x = 0 2 ( √ ) cos x 2 sinx− 3 = 0

Отсюда получаем

⌊ π ⌊ x= 2-+ πk, k ∈ ℤ |cosx= 0√ - ||| π- ⌈ --3 ⇔ |⌈x= 3 + 2πk, k ∈ ℤ sin x= 2 x= 2π + 2πk, k ∈ ℤ 3

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[5π ] 2 ;4π ,$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$4587ππππ 232$

Следовательно, на отрезке $[ 5π ] 2-;4π$ лежат точки $5π -2 ;$ $8π 3-;$ $7π 2-.$

Ответ:

а) $π+ πk; 2$ $π+ 2πk; 3$ $2π + 2πk, 3$ $k ∈ ℤ$

б) $5π; 8π; 7π 2 3 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#104336

a) Решите уравнение $cosx⋅cos2x− sin2x− cosx= 0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] − 5π;−π . 2$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 12

Показать ответ и решение

а) Воспользуемся формулой $cos2x= 1− 2sin2x$ и получим:

cosx⋅(1− 2sin2x)− sin2x − cosx = 0 2 2 cosx− 2sin x⋅cosx− sin x− cosx= 0 2sin2x⋅cosx+ sin2x= 0 sin2x(2cosx+ 1)= 0

Отсюда получаем

⌊sinx= 0 ⌊x =πk, k ∈ ℤ ⌈ ⇔ ⌈ cosx =− 1 x =± 2π +2πk, k ∈ℤ 2 3

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] − 5π;−π , 2$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$−−−−−π2π5ππ4π- 23$

Следовательно, на отрезке $[ 5π ] − 2 ;−π$ лежат точки $− 2π;$ $4π − 3 ;$ $− π.$

Ответ:

а) $πk;$ $± 2π +2πk, 3$ $k ∈ ℤ$

б) $− 2π; − 4π; −π 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#73456

а) Решите уравнение $4√3cos3x= cos(2x+ π) . 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] −4π;− 5π . 2$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 13

Показать ответ и решение

а) По формуле приведения правая часть равенства равна $− sin2x.$ Следовательно, уравнение равносильно

4√3-cos3x +2 sinxcosx =0 ( √- ) cosx 2 3cos2x+ sinx = 0 ( √-( 2 ) ) cosx 2 3 1− sin x + sin x = 0 ⌊cosx = 0 ⌈ √- √ - 2 3sin2x− sinx − 2 3= 0 ⌊ |cosx = 0 || -2- |||sinx = √3 (не имеет решений) ⌈ √3- sinx = −-2- ⌊ π |x= -2 + πk, k ∈ℤ || π |||x= − 3 + 2πk, k ∈ ℤ ⌈ 2π x= − 3-+ 2πk, k ∈ ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] −4π;− 5π , 2$ концы этой дуги и решения, которые лежат на ней.

$−−−−4π7π8π5π- 232$

Следовательно, на отрезке $[ ] − 4π;− 5π 2$ лежат числа $− 7π; 2$ $− 8π; 3$ $− 5π. 2$

Ответ:

а) $π+ πk; − π-+ 2πk; − 2π + 2πk, k ∈ℤ 2 3 3$

б) $7π 8π 5π − -2 ; − 3-; − 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#73459

а) Решите уравнение $( ) 4√3sin3 x= cos 2x+ 3π . 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 9π;6π . 2$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 14

Показать ответ и решение

а) Воспользуемся формулой приведения для правой части:

4√3-sin3x = sin2x ( √ - 2 ) 2 sinx 2 3sin x − cosx =0 ⌊ ⌈si√nx= 0 √ - 2 3cos2x +cosx − 2 3= 0 ⌊ |sinx= 0 |||cosx= − √2-(не имеет реш ений) || 3 ⌈ √3 cosx= 2-- ⌊ |⌈x = πk, k ∈ℤ x = ±π-+ 2πk, k ∈ ℤ 6

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[9π ] -2 ;6π ,$ концы этой дуги и решения, которые лежат на ней.

$9356π5πππ 26$

Следовательно, на отрезке $[ 9π ] 2-;6π$ лежат числа $5π;$ $35π -6-;$ $6π.$

Ответ:

а) $πk; ±π-+ 2πk, k ∈ℤ 6$

б) $35π 5π; -6-; 6π$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#73457

а) Решите уравнение $( )( ( ) ) 4x2+ 16x + 15 cosx ⋅cos π-+ x − 0,5 = 0. 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ π-] −2π;−2 .$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 15

Показать ответ и решение

а) По формуле приведения $cos(π-+x) = − sinx. 2$ Следовательно, уравнение равносильно

⌊ 2 |⌈4x +16x +15 =0 − 1 sin2x− 1 = 0 ⌊ 2 2 x= − 5 ||| 2 || x= − 3 |⌈ 2 sin2x= − 1 ⌊ x= − 5 ||| 2 || x= − 3 |⌈ 2 x= − π+ πk, k ∈ ℤ 4

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ π] −2π;− 2 ,$ концы этой дуги и решения, которые лежат на ней.

При этом учтем, что, $3< π <5 < 6< 2π.$ Поэтому

$pict$

Таким образом, корень $5 − 2$ лежит на отрезке $[ π] − 2π;− 2-,$ а корень $3 − 2$ — нет.

Тогда

$π55π −−−−2π224-$

Следовательно, на отрезке $[ π] − 2π;− 2$ лежат числа $5π − 4 ;$ $5 − 2.$

Ответ:

а) $− 5; − 3; − π-+πk, k ∈ ℤ 2 2 4$

б) $5π 5 − -4 ; − 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#73460

а) Решите уравнение $(2x2− 15x + 18)(sinx⋅sin (x− π) + 0,25) = 0. 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[π ] 2;2π .$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 16

Показать ответ и решение

а) Уравнение равносильно совокупности

⌊ 2x2− 15x + 18 = 0 |⌈ − sinx⋅cosx= − 1 ⌊ 4 x= 3 || 2 |||x= 6 ⌈ 1 sin2x = 2 ⌊ 3 |x= 2 || ||x= 6 ||x= -π + πk, k ∈ ℤ || 12 ⌈x= 5π + πk, k ∈ℤ 12

б) Отберем корни на числовой прямой. Для этого отметим на ней отрезок $[ ] π;2π 2$ и решения, которые лежат на нем.

$π113π7π- 262π1122$

Следовательно, на отрезке $[π- ] 2;2π$ лежат числа $13π 12 ;$ $17π- 12 ;$ 6.

Ответ:

а) $3; 6; π-+ πk; 5π + πk, k ∈ℤ 2 12 12$

б) $13π 17π -12 ; 12-; 6$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#73458

а) Решите уравнение $62x− 1+2 ⋅25 x− 0,5 = 16⋅30x−1.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[0,5;4].$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 17

Показать ответ и решение

а) Уравнение равносильно

1 2x 1 2x -1 x x 6 ⋅6 + 2⋅5 ⋅5 − 16⋅30 ⋅6 ⋅5 = 0.

Разделим обе части равенства на положительное выражение $2x 5 ,$ затем сделаем замену $(6)x 5 = t.$ Получим:

1 2 16 2 6t − 30t+ 5 = 0 ⌊ 6 5t2− 16t+ 12= 0⌈t = 5 t =2

Сделаем обратную замену:

⌊(6 )x 6 [ || 5 = 5 x = 1 ⌈(6 )x ⇔ x = log1,22 5 = 2

б) Корень $x= 1$ принадлежит отрезку $[0,5;4].$

Далее заметим, что

log1,22 >log1,21,2 = 1> 0,5.

Сравним $log1,22$ с 4:

log62 ∨4 5 ( ) 2 ∨ 6 4 5 4 4 2 ⋅5 ∨6 1250 ∨1296

Таким образом, $log1,22 <4,$ следовательно, корень $x = log1,22$ также принадлежит отрезку $[0,5;4].$

Ответ:

а) $1; log1,22$

б) $1; log1,22$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#104337

a) Решите уравнение $25x+0,5+ 1,2⋅24x+1 = 140⋅20x−1.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[− 2,5;−0,5].$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 18

Показать ответ и решение

а)

25x+0,5+ 1,2⋅24x+1 = 140⋅20x−1 x 0,5 x −1 4x 1 25 ⋅25 − 140⋅20 ⋅20 + 1,2⋅2 ⋅2 = 0 5⋅52x − 7 ⋅5x ⋅4x + 2,4⋅42x = 0

Разделим обе части равенства на положительное выражение $2x 4 ,$ затем сделаем замену $( )x 5 = t. 4$ Получим:

( 5)2x (5 )x 5⋅ 4 − 7⋅ 4 + 2,4 = 0 2 5t − 7t+2,4= 0 D = 72− 4⋅5 ⋅2,4= 1 ⌊t= 7+-1 = 4 |⌈ 10 5 t= 7−-1 = 3 10 5

Сделаем обратную замену:

⌊( )x 5 = 4 [ ||(4 ) 5 ⇔ x = −1 ⌈ 5 x = 3 x = log1,250,6 4 5

б) Корень $x= −1$ принадлежит отрезку $[−2,5;− 0,5].$

Далее заметим, что

log1,25 3 = − log1,25 5< − log1,251,25 = −1. 5 3

Теперь сравним $log5 5 4 3$ с $2,5 :$

$pict$

Тогда $5 log1,253 < 2,5$ и $5 − log1,25 3 > − 2,5.$ Таким образом, корень $x = log1,250,6$ принадлежит отрезку $[−2,5;− 0,5].$

Ответ:

а) $− 1; log1,250,6$

б) $− 1; log1,250,6$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#104338

a) Решите уравнение $( ) 4log22(sinx)− 3log0,5sin2x + 2= 0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 7π − 2 ;− 2π .$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 19

Показать ответ и решение

а)

4log2(sinx)− 3log (sin2x)+ 2= 0 22 0,5 2 4log2(sinx)− 3log2−1(sin x)+ 2= 0 4log2(sinx)− 3⋅2-log (sinx)+ 2= 0 2 − 1 2 4log22(sinx)+ 6log2(sinx) +2 = 0 2log2(sinx)+ 3log(sinx) +1 = 0 2 2 (log2(sinx)+ 1)⋅(2log2(sinx)+ 1)= 0

Получаем

$pict$

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] − 7π;−2π , 2$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$−−−− 7211ππ39ππ 246$

Следовательно, на отрезке $[ 7π ] − 2 ;−2π$ лежат точки $13π − 4 ;$ $19π − 6 .$

Ответ:

а) $π+ 2πk; 6$ $π-+ 2πk; 4$ $3π + 2πk; 4$ $5π +2πk, 6$ $k ∈ ℤ$

б) $− 13π ; − 19π . 4 6$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#104339

a) Решите уравнение $log24(cos2x) =log 1-(cos2x). 16$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ 9π] 3π;2 .$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 20

Показать ответ и решение

а)

log2(cos2x)= log-1(cos2x) 24 16 log4(cos2x) =log4−2(cos2x) log2(cos2x)= − 1 log (cos2x) 4 2 4 log24(cos2x)+ 1log4(cos2x)= 0 ( 2 ) log4(cos2x)⋅ log4(cos2x)+ 1 = 0 2

Получаем

$pict$

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] 3π; 9π , 2$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$931242ππ93π5πππ 2666$

Следовательно, на отрезке $[ 9π] 3π; 2$ лежат точки $3π;$ $19π 6 ;$ $23π 6 ;$ $4π;$ $25π . 6$

Ответ:

а) $πk;$ $± π-+ πk, 6$ $k ∈ ℤ$

б) $3π; 19π-; 23π; 4π; 25π. 6 6 6$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2