Тема 13. Решение уравнений

13.02 Задачи №13 из сборника И.В. Ященко

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#104326

а) Решите уравнение $( ) cos4 x− sin4 x= sin x− π- . 4 4 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[π;5π].$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 2

Показать ответ и решение

а) По формуле разности квадратов и по формуле приведения получаем:

( 2 x 2 x) ( 2 x 2 x ) cos 4 − sin 4 ⋅ cos 4 + sin 4 = − cosx.

По основному тригонометрическому тождеству

x x cos24 +sin24 = 1.

По формуле косинуса двойного угла

cos2 x − sin2 x = cos x. 4 4 2

Тогда уравнение примет вид:

x cos2 = − cosx x ( x ) cos2 = − 2cos2 2 − 1 x x 2cos2 2 + cos2 − 1 = 0 ( x ) ( x ) cos2 +1 ⋅ 2cos 2 − 1 =0

Получаем

$pict$

б) Отберем корни в каждой серии с помощью неравенств.

Серия $x = 2π+ 4πk,$ $k ∈Z :$

π ≤ 2π +4πk ≤ 5π 1≤ 2+ 4k ≤ 5 − 1≤ 4k ≤ 3 −0,25 ≤k ≤ 0,75

Тогда целочисленным решением неравенства является $k =0,$ то есть $x = 2π.$

Серия $2π x = 3 +4πk,$ $k ∈ Z :$

2π π ≤-3 + 4πk ≤ 5π 1 ≤ 2+ 4k ≤ 5 3 3≤ 2+ 12k ≤ 15 1 ≤12k ≤13 1 13 12 ≤ k ≤ 12

Тогда целочисленным решением неравенства является $k =1,$ то есть $x = 14π. 3$

Серия $2π x = − 3 + 4πk,$ $k ∈ Z :$

π ≤ − 2π+ 4πk ≤5π 3 1≤ − 2 + 4k ≤ 5 3 3≤ − 2+ 12k ≤ 15 5 ≤12k ≤17 -5 ≤ k ≤ 17 12 12

Тогда целочисленным решением неравенства является $k =1,$ то есть $x = 10π. 3$

Следовательно, на отрезке $[π;5π]$ лежат решения $2π;$ $10π -3-;$ $14π -3-.$

Ответ:

а) $2π + 4πk;$ $± 2π +4πk, 3$ $k ∈ ℤ$

б) $2π;$ $10π ; 3$ $14π 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

13.02 Задачи №13 из сборника И.В. Ященко

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ