Тема 13. Решение уравнений

13.02 Задачи №13 из сборника И.В. Ященко

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#45865

а) Решите уравнение

( ) sin 2x + 2π- cos(4x+ π-)− cos2x = --sin(2x-) 3 3 cos − π 3

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ 3π] − 2π;2- .$

Показать ответ и решение

а) Воспользуемся формулой произведения синуса и косинуса $1 sinαcosβ = 2 (sin(α− β)+ sin(α+ β)):$

( ( ) ( )) 1 sin 2x + 2π− 4x− π- + sin 2x+ 2π +4x + π- − 1+ 2sin2x = sin2x- ⇔ 2 3 3 3 3 12 ( ( ) ) 1 sin π-− 2x + sin(6x + π) = 1 ⇔ 2 3 sin( π− 2x) − sin 6x= 2 3

Так как $sinα∈ [−1;1]$ $∀α∈ ℝ,$ то левая часть лежит в промежутке $[−2;2],$ причем равна $2$ она тогда и только тогда, когда первый синус равен $1,$ а второй равен $− 1.$ Следовательно, по методу оценки уравнение равносильно

( |{sin(π-− 2x) = 1 3 ⇔ |(sin6x= −1 ( π π ||{ 3 − 2x=-2 + 2πn,n∈ ℤ | ⇔ |(6x = − π-+ 2πm,m ∈ ℤ ( 2π ||{x = −12 +πk,k ∈ℤ | π π |(x = −12 + 3m,m ∈ ℤ

Отметим обе серии решений на окружности (каждую серию на отдельной окружности) и найдем пересечение множества решений первой и второй серии:

серия $x = −-π +πk,k ∈ℤ : 12$

$−1π1π-++ 22ππkk12,,kk21 ∈∈ℤℤ 1122$

серия $π π x = −12 + 3m,m ∈ ℤ :$

$π751ππ9πππ −41−4112122+ +2+2++π2+22mπ2π2π2mπmπm,3m5m1m,4,6,2m,m,m3m5m1∈46∈∈∈ℤ∈∈ℤℤℤℤℤ$

Следовательно, серии решений пересекаются по множеству $x= − π-+ πk,k ∈ ℤ. 12$

б) Отберем корни с помощью неравенства:

− 2π ≤ − π-+ πk ≤ 3π ⇔ 12 2 11 7 − 112 ≤ k ≤ 112 ⇒ k = − 1;0;1 ⇒ 13π π 11π x= − 12-;−12;-12

Ответ:

а) $− π-+ πk,k ∈ ℤ 12$

б) $13π π 11π − -12 ;− 12;12-$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

13.02 Задачи №13 из сборника И.В. Ященко

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ