Тема 13. Решение уравнений

13.02 Задачи №13 из сборника И.В. Ященко

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#45847Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $( ) cos2x− √2cos 3π-+ x − 1 = 0. 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ ] 3π;3π . 2$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 32

Показать ответ и решение

а) Преобразуем уравнение:

1− 2sin2x − √2-sin x− 1= 0 ⇔ √- s⌊in x(2sinx+ 2) =0 ⇔ sinx =0 |⌈ √- ⇔ sinx =− -2- ⌊ 2 x= πk, k ∈ℤ ||| || x= − π+ 2πk, k ∈ℤ |⌈ 4 =− 3π +2πk, k ∈ ℤ 4

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[3π ] -2 ;3π ,$ концы этой дуги и точки, которые лежат на ней.

$3372ππππ 24$

Следовательно, на отрезке $[ ] 3π-;3π 2$ лежат точки $7π;2π;3π. 4$

Ответ:

а) $πk, − π-+ 2πk, − 3π+ 2πk, k ∈ℤ 4 4$

б) $7π -4 , 2π, 3π$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#45848Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $( )( ( ) (√- )) x2+ 2x− 1 log2 x2− 3 + log0,5 3 − x =0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[−2,5;− 1,5].$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 33

Показать ответ и решение

а) ОДЗ:

{ 2 √- x√-− 3> 0 ⇔ x< − 3 3 − x > 0

Решим уравнение на ОДЗ.

( √- ) ((x +1)2− 2)⋅ log2(x2− 3)− log2( 3 − x) = 0 ⌊ 2 | (x +1) =√2- √- ⌈ log (x+-√-3)(x−--3) = 0 2 3− x ⌊ x= −1 ±√2 ⌈ √- log2(− x− 3)= 0 ⌊ √ - ⌈ x= −1 ±√ 2 x= −1 − 3

Пересечем множество полученных решений с ОДЗ и получим окончательный ответ: $√ - x= −1 − 3$ и $√- x =− 1− 2.$

б) Так как $1,4 < √2 <1,5$ и $1,7 < √3< 1,8,$ то на отрезке $[−2,5;−1,5]$ лежит только $x = −1− √2.$

Ответ:

а) $− 1− √3;$ $− 1 − √2$

б) $√ - − 1− 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#45849Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение

(x2+ 4x− 2)(43x+1+ 82x−1− 11)= 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[−0,5;0,5].$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 34

Показать ответ и решение

а) Решим уравнение:

( ) ((x + 2)2− 6) 4⋅26x+ 1 ⋅26x− 11 = 0 ⇔ 8 ⌊ (x + 2)2 = 6 |⌈ 33 ⇔ 8-⋅26x = 11 ⌊ √- | x= − 2± 6 ⌈ 26x = 8 ⇔ ⌊ 3 x= − 2± √6 |⌈ x= 1 log2 8 = 1(log2 8− log23)= 1 − log23 6 3 6 2 6

б) Отберем корни:

√- − 2− 6 < −2 ⇒ не леж ит в указанном отрезке √ - ∘ ---- 0< −2 + 6< −2 + 6,25= −2 +2,5= 0,5 ⇒ лежит в указанном отрезке 1 8 1 log23 1 0< 6 log23 = 2 − 6 < 2 ⇒ лежит в указанном отрезке

Ответ:

а) $− 2− √6;−2+ √6; 1 − log23 2 6$

б) $√ - 1 log23 − 2+ 6;2 −--6--$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#45863Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $sin4 x− cos4 x= cos(x− π-). 4 4 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ 3π ] − -2 ;π .$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 35

Показать ответ и решение

а) Решим уравнение, воспользовавшись на первом шаге разностью квадратов:

( ) ( ) sin2 x − cos2 x sin2 x + cos2 x = sinx ⇔ 4 4 4 4 x − cos2 ⋅1= sinx ⇔ x x x 2sin2 cos-2 + cos2 = 0 ⇔ ( ) cos x 2sin x+ 1 =0 ⇔ 2 2 ⌊ x |cos2 =0 |⌈ x 1 ⇔ sin 2 = − 2 ⌊x π- |2 = 2 +πk,k ∈ℤ |||x π- ||2 = −6 + 2πn,n∈ ℤ ⇔ ⌈x 5π 2 = −-6 + 2πm,m ∈ ℤ ⌊ |x= π + 2πk,k ∈ℤ ||| π- ||x= − 3 +4πn,n ∈ℤ ⌈ 5π x= − 3-+ 4πm, m ∈ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Так как отрезок $[ ] − 3π;π 2$ соответствует дуге на окружности, длина которой больше длины окружности, то разобьем его на два отрезка: $[ ] − 3π; π 2 2$ и $[ ] π;π , 2$ каждый из которых изобразим на отдельной окружности. Отметим дуги, соответствующие каждому отрезку, концы дуг и те корни, которые лежат на этих дугах.

$−π−−π3ππ- 2 23$

$ππ- 2$

Следовательно, на отрезке $[ 3π ] − 2-;π$ лежат корни $π − π;−3-;π.$

Ответ:

а) $π + 2πk,− π-+4πn,− 5π+ 4πm, 3 3$ где $k,n,m ∈ℤ$

б) $π − π;− 3;π$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#45864Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $sin2( x+ π-)sin2(x − π) = 0,375sin2(− π) . 4 4 4 4 4$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[−3π;π].$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 36

Показать ответ и решение

а) Воспользуемся формулой понижения степени $sin2α= 1-− cos2α : 2$

( ) ( ) 1−-cos-x2 +-π2- 1−-cos-x2-−-π2-- 375- 1 2 ⋅ 2 = 1000 ⋅2 ⇔ ( )( ) 1+ sin x 1 − sin x = 3 ⇔ 2 2 4 1− sin2 x = 3 ⇔ 2 4 x 1 sin2-2 = 4 ⇔ sin x= ± 1 ⇔ 2 2 x π 2 =± 6-+ πk,k ∈ℤ ⇔ x= ± π+ 2πk,k ∈ ℤ 3

б) Отберем корни с помощью неравенства. Первая серия решений (для $k1 ∈ ℤ$ ):

− 3π ≤ π-+ 2πk1 ≤ π ⇔ 3 5 1 − 3 ≤ k1 ≤ 3 ⇒ k1 = −1;0 ⇒ 5π π- x= − 3 ;3

Вторая серия решений (для $k2 ∈ Z$ ):

π- − 3π ≤− 3 +2πk2 ≤π ⇔ − 4 ≤ k2 ≤ 2 ⇒ 3 3 k2 = −1;0 ⇒ 7π π x =− -3 ;− 3

Следовательно, на отрезке $[−3π;π]$ лежат корни $− 7π;− 5π;− π; π. 3 3 3 3$

Ответ:

а) $± π+ 2πk, 3$ $k ∈ ℤ$

б) $7π − -3 ;$ $5π − -3 ;$ $π − 3;$ $π 3-$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 46#45873Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $2cos4x +3 sin2x− 2= 0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ 7π 5π] − -2 ;− 2 .$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2023 г. Вариант 35

Показать ответ и решение

а) Преобразуем уравнение:

2(1 − sin2 x)2+ 3sin2x− 2= 0 2(1 − 2sin2x+ sin4x)+ 3sin2x − 2= 0 2 2 sin x(2sin x − 1) =0 ⌊ |sinx= 0 ⌈ √2- sinx= ± 2 ⌊x = πk, k ∈ℤ |⌈ x = π-+ πk, k ∈ℤ 4 2

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ 7π 5π ] − 2-;−-2 ,$ концы этой дуги и точки, которые лежат на ней.

$−−−−− 5 73 1 1πππ31ππ 2244$

Следовательно, на отрезке $[ ] − 7π;− 5π- 2 2$ лежат точки

− 13π; −3π; − 11π 4 4

Ответ:

а) $πk;$ $π-+ πk, 4 2$ $k ∈ℤ$

б) $13π − -4- ;$ $− 3π;$ $11π − 4--$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 47#45874Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $4sin4x +7 cos2x− 4 =0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[−5π;− 4π].$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2023 г. Вариант 36

Показать ответ и решение

а) Преобразуем уравнение:

4(1− cos2 x)2+ 7cos2x− 4= 0 ⇔ 2 4 2 4(1− 2cos x+ cosx)+ 7cos x− 4= 0 ⇔ cos2x(4cos2 x− 1)= 0 ⇔ ⌊ |cosx= 0 ⌈ 1 ⇔ ⌊cosx= ± 2 x = π-+πm, m ∈ℤ || 2 ⌈x = ±π-+ πn,n∈ ℤ 3

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[−5π;−4π],$ концы этой дуги и точки, которые лежат на ней.

$−−−−−54 9 1 1πππ43ππ 233$

Следовательно, на отрезке $[−5π;−4π]$ лежит точка $− 14π;− 9π;− 13π. 3 2 3$

Ответ:

а) $± π+ πn; 3$ $π-+πm, 2$ $n,m ∈ ℤ$

б) $14π − -3- ;$ $9π − -2 ;$ $13π − -3-$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 48#45865Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение

( ) sin 2x + 2π- cos(4x+ π-)− cos2x = --sin(2x-) 3 3 cos − π 3

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ 3π] − 2π;2- .$

Показать ответ и решение

а) Воспользуемся формулой произведения синуса и косинуса $1 sinαcosβ = 2 (sin(α− β)+ sin(α+ β)):$

( ( ) ( )) 1 sin 2x + 2π− 4x− π- + sin 2x+ 2π +4x + π- − 1+ 2sin2x = sin2x- ⇔ 2 3 3 3 3 12 ( ( ) ) 1 sin π-− 2x + sin(6x + π) = 1 ⇔ 2 3 sin( π− 2x) − sin 6x= 2 3

Так как $sinα∈ [−1;1]$ $∀α∈ ℝ,$ то левая часть лежит в промежутке $[−2;2],$ причем равна $2$ она тогда и только тогда, когда первый синус равен $1,$ а второй равен $− 1.$ Следовательно, по методу оценки уравнение равносильно

( |{sin(π-− 2x) = 1 3 ⇔ |(sin6x= −1 ( π π ||{ 3 − 2x=-2 + 2πn,n∈ ℤ | ⇔ |(6x = − π-+ 2πm,m ∈ ℤ ( 2π ||{x = −12 +πk,k ∈ℤ | π π |(x = −12 + 3m,m ∈ ℤ

Отметим обе серии решений на окружности (каждую серию на отдельной окружности) и найдем пересечение множества решений первой и второй серии:

серия $x = −-π +πk,k ∈ℤ : 12$

$−1π1π-++ 22ππkk12,,kk21 ∈∈ℤℤ 1122$

серия $π π x = −12 + 3m,m ∈ ℤ :$

$π751ππ9πππ −41−4112122+ +2+2++π2+22mπ2π2π2mπmπm,3m5m1m,4,6,2m,m,m3m5m1∈46∈∈∈ℤ∈∈ℤℤℤℤℤ$

Следовательно, серии решений пересекаются по множеству $x= − π-+ πk,k ∈ ℤ. 12$

б) Отберем корни с помощью неравенства:

− 2π ≤ − π-+ πk ≤ 3π ⇔ 12 2 11 7 − 112 ≤ k ≤ 112 ⇒ k = − 1;0;1 ⇒ 13π π 11π x= − 12-;−12;-12

Ответ:

а) $− π-+ πk,k ∈ ℤ 12$

б) $13π π 11π − -12 ;− 12;12-$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 49#45866Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение

cos2x− sin2x = cosx + sinx+ 1

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ 5π ] − 2 ;−π .$

Показать ответ и решение

а) Воспользуемся формулами двойного аргумента в левой части и преобразуем уравнение:

1− 2sin2x − 2 sinxcosx= cosx+ sin x+ 1 ⇔ 2sin2x +2sinxcosx+ cosx+ sinx = 0 ⇔ ------ --------- ---- ---- sinx(2sinx+ 1)+ cosx(2sin x+ 1)= 0 ⇔ (s⌊inx+ cosx)(2sin x+ 1)= 0 ⇔ sinx= − cosx |:cosx (однородное уравнение первой степени) ⌈ ⇔ 2 sinx =− 1 ⌊tgx = −1 |⌈ ⇔ sinx= − 1 ⌊ 2 x = − π-+ πk,k ∈ ℤ ||| 4 ||x = − π-+ 2πn,n∈ ℤ |⌈ 6 x = − 5π + 2πm,m ∈ ℤ 6

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] 3π; 9π , 2$ концы этой дуги и точки, которые лежат на ней.

$−−−−π−5π 19π5π3π 2446$

Следовательно, на отрезке $[ ] − 5π;−π 2$ лежат точки $− 9π;− 13π;− 5π. 4 6 4$

Ответ:

а) $− π+ πk,− π+ 2πn,− 5π-+ 2πm, 4 6 6$ где $k,n,m ∈ ℤ$

б) $9π 13π 5π − -4 ;− -6-;−-4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 50#45867Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $( ) cos3xsin3x = cos π-cos 12x+ 3π . 3 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ ] − 3π;− π-. 4 4$

Показать ответ и решение

а) Воспользуемся формулой двойного аргумента для синуса $sinα cosα= 1 sin2α 2$ в левой части:

1 1 2 sin6x = 2 sin 12x ⇔ 2sin6xcos6x− sin6x =0 ⇔ sin6x(2cos6x − 1)= 0 ⇔ ⌊ |sin6x = 0 ⇔ ⌈cos6x= 1 ⌊ 2 6x= πk,k ∈ℤ || ⇔ ⌈6x= ± π-+2πn,n ∈ℤ ⌊ 3 x = πk,k ∈ ℤ ||⌈ 6 x =± π-+ π-n,n ∈ ℤ 18 3

б) Отберем корни с помощью неравенств.

Для серии решений $π- x = 6k,k ∈ ℤ :$

− 3π ≤ πk ≤ − π ⇔ 4 6 4 9 3 − 2 ≤ k ≤ − 2 ⇒ k = − 4;− 3;− 2 ⇒ 2π π- π- x= − 3 ;− 2;−3

Для серии решений $π π x = −18 + 3n1,n1 ∈ ℤ:$

3π π π π − -4 ≤ −18 + 3n1 ≤ − 4 ⇔ − 25 ≤n1 ≤ −-7 ⇒ 12 12 n1 = −2;−1 ⇒ x= − 13π-;− 7π 18 18

Для серии решений $x = π-+ π-n,n ∈ℤ : 18 3 2 2$

− 3π≤ -π + πn ≤ − π- ⇔ 4 18 3 2 4 29 11 − 12 ≤ n2 ≤ − 12 ⇒ n2 = −2;−1 ⇒ 11π 5π x = −-18 ;− 18

Следовательно, на отрезке $[ ] − 3π;− π- 4 4$ лежат точки

− 13π;− 2π;− 11π;− π;− 7π;− π;− 5π 18 3 18 2 18 3 18

Ответ:

а) $πk,±-π + πn, 6 18 3$ где $k,n ∈ℤ$

б) $13π 2π 11π π 7π π 5π − -18 ;− 3-;−-18 ;− 2;− 18;−3;− 18$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 51#45868Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение

( ) cos2x sin2xsin 2π = 1cos 8x− 3π . 3 4 2

б) Найдите все корни этого уравнення, лежащие на отрезке $[ 8π 10π] 3-;-3- .$

Показать ответ и решение

а) Воспользуемся в левой части формулой двойного аргумента для синуса $1 sinαcosα = 2 sin 2α:$

1 √3- 1 2 sin4x⋅-2-= 4(− sin8x) ⇔ √ - 2sin 4x cos4x + √3sin 4x = 0 ⇔ sin 4x(2cos4x+ 3) =0 ⇔ ⌊ |sin4x= 0 ⌈ √3 ⇔ cos4x= − -2- ⌊ ||4x = πk, k ∈ ℤ ⌈ 5π ⇔ 4x = ± 6 + 2πk, k ∈ ℤ ⌊ πk- ||x = 4 , k ∈ ℤ ⌈ 5π πk- x = ±24 + 2 ,k ∈ ℤ

б) Отберем корни неравенствами.

Для серии решений $x = πk, k ∈ ℤ: 4$

8π ≤ πk-≤ 10π- ⇔ 3 4 3 2 1 103 ≤ k ≤ 133 ⇒ k = 11; 12; 13 ⇒ 11π 13π x= 4 ; 3π; 4

Для серии решений $x = − 5π + πk, k ∈ ℤ: 24 2$

8π ≤ − 5π + πk-≤ 10π ⇔ 3 24 2 3 3 -1 54 ≤ k ≤ 712 ⇒ k = 6; 7 ⇒ 67π 79π x= 24 ; 24

Для серии решений $5π πk x = 24 + 2-, k ∈ℤ :$

8π≤ 5π-+ πk-≤ 10π ⇔ 3 24 2 3 11 1 412 ≤ k ≤ 64 ⇒ k = 5; 6 ⇒ x= 65π; 77π 24 24

Следовательно, на отрезке $[ 8π 10π ] 3-;-3-$ лежат корни $65π 24-;$ $11π -4-;$ $67π 24-;$ $3π;$ $77π ; 24$ $13π; 4$ $79π-. 24$

Ответ:

а) $πk, 4$ $± 5π-+ πk, 24 2$ $k ∈ ℤ$

б) $65π -24 ;$ $11π -4-;$ $67π -24 ;$ $3π;$ $77π -24 ;$ $13π -4-;$ $79π -24$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 52#45869Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение

cos2x − √2-cos(π-+x) + 1= 0 2

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ ] − 5π;− 7π . 2$

Показать ответ и решение

а) Преобразуем уравнение:

1− 2sin2x+ √2 sinx +1 = 0 ⇔ 2sin2x − √2-sinx + 1= 0

Сделаем замену $t =sinx,$ тогда уравнение примет вид

√- 2t2− √2t − 2= 0 ⇔ t= − -2;√2 2

Так как $t= sin x∈ [− 1;1],$ то $√ - t= 2$ не является решением уравнения. Сделаем обратную замену:

⌊ π √2- | x= − 4 + 2πn,n∈ ℤ sinx = −-2- ⇔ |⌈ 3π x= − 4-+ 2πm,m ∈ ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] 7π − 5π;− 2 ,$ концы этой дуги и точки, которые лежат на ней.

$−−−−5 7 1 1ππ79ππ 244$

Следовательно, на отрезке $[ ] − 5π;− 7π 2$ лежат точки $− 19π;− 17π-. 4 4$

Ответ:

а) $− π+ 2πn,− 3π+ 2πm, 4 4$ где $n,m ∈ℤ$

б) $19π 17π − -4- ;− -4-$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 53#45870Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение

2sin2x − 3√3-sin( π+ x) − 5 = 0 2

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ ] − 5π;−π . 2$

Показать ответ и решение

а) Преобразуем уравнение:

√- √ - 2 − 2 cos2x− 3 3 cosx − 5 = 0 ⇔ 2cos2x + 3 3cosx+ 3= 0

Сделаем замену $t =cosx,$ тогда уравнение примет вид

√- 2t2 +3√3t +3 = 0 ⇔ t= −√3;− -3- 2

Так как $t= cosx∈ [− 1;1],$ то $t= − √3$ не является решением уравнения. Сделаем обратную замену:

√3 5π cosx= − -2- ⇔ x= ± 6-+ 2πn,n∈ ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] − 5π;−π , 2$ концы этой дуги и точки, которые лежат на ней.

$−−−π5π7π- 26$

Следовательно, на отрезке $[ ] − 5π;−π 2$ лежит точка $− 7π. 6$

Ответ:

а) $± 5π+ 2πn,n∈ ℤ 6$

б) $7π − -6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 54#45871Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение

log1(3 cos2x− 2cos2x+ 5)= −2 2

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ 13π] 5π;-2- .$

Показать ответ и решение

а) Уравнение равносильно:

3(2 cos2x− 1)− 2cos2x + 5= 4 ⇔ 2 4cosx = 2 ⇔ 2 1 cos x= 2 ⇔ √- cosx= ± -2- ⇔ 2 π- π- x= 4 + 2n,n ∈ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] 5π; 13π , 2$ концы этой дуги и точки, которые лежат на ней.

$51222π3135ππππ 2444$

Следовательно, на отрезке $[ ] 13π 5π; 2$ лежит точка $21π 23π 25π 4 ; 4 ; 4 .$

Ответ:

а) $π+ π-n,n ∈ ℤ 4 2$

б) $21π 23π 25π -4-;-4-;-4-$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 55#45872Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $log 1(2sin2x− 3cos2x + 6) = −2. 3$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ 7π ] − -2 ;−2π .$

Показать ответ и решение

а) Уравнение равносильно:

2sin2x− 3(1− 2sin2x)+ 6= 9 8sin2x = 6 3 sin2x = 4 √- sin x= ± -3- 2 x =± π-+ πk, k ∈ ℤ 3

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ 7π ] − 2-;−2π ,$ концы этой дуги и решения, принадлежащие ей.

$7π108π7ππ −−−−−2π2333-$

Следовательно, на отрезке $[ ] 7π − 2 ;−2π$ лежат точки

10π 8π 7π − 3 ; − 3 ; − 3

Ответ:

а) $± π+ πk, 3$ $k ∈ ℤ$

б) $10π − -3- ;$ $8π − -3 ;$ $7π − 3-$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2