.01 Алгебра. Теория групп.

1 2. Пусть - циклическая. Тогда, очевидно, что любой элемент группы в степени равен единице - это известное следствие теоремы Лагранжа. А никакого такого меньшего не найдется по той простой причине, что у циклического порождающего группы , то есть у такого , что порядок обязан быть именно .

1 2. Воспользуемся теоремой о строении конечно порожденных абелевых групп. Поскольку - конечна, то она тем более конечно порождена, и, значит, к ней применима эта теорема - раскладывается в прямое произведение циклических. Причем, поскольку - конечна, множителей в этом разложении не будет. То есть

Возьмем элемент .

Тогда, поскольку у каждой соответствующей единицы, как у порождающего циклической группы порядок, очевидно, равен , а порядок элемента из прямого произведения равен НОКу порядков его компонент, то порядок элемента равен . Из данного нам условия немедленно вытекает, что этот порядок обязан быть равен , потому что из всех элементов прямого произведения у элемента будет самый большой порядок, а он, по условию, не может быть меньше . таким образом,

Следовательно, все - попарно взаимно просты и тогда по китайской теореме об остатках

то есть - циклическая.