.01 Алгебра. Теория групп.

a) Подойдёт множество натуральных чисел. А в качестве операции сгодится обычное сложение чисел.

Тогда, во-первых,

не выводит за пределы множества во-вторых, ясно, что эта операция ассоциативна (известно из школьной программы за 2 класс), но нейтрального элемента по отношению к у нас нет. Почему? Потому что в не существует такого , что для любого было бы выполнено . Если бы такое существовало, то оно, естественно, должно было бы быть нулем. А нуля в у нас нет.

b) Ради разнообразия приведем непохожий на пункт a) пример, хотя вы можете подумать о том, что туда нужно добавить, чтобы он сгодился для нашего пункта b).

Итак, мы же давайте рассмотрим множество всех матриц размера . В качестве операции возьмем перемножение матриц. Тогда, в чем нетрудно убедить себя, умножение матриц ассоциативно, существует нейтральный элемент по этой операции - единичная матрица размера Однако, далеко не все элементы в этом множестве с такой операцией будут обратимы. А именно, необратимы будут те матрицы, чей определитель равен 0. Например, нулевая матрица, или любая матрица со строкой нулей - примеров много.

c) Давайте рассмотрим множество с операцией

которая каждой паре ненулевых чисел сопоставляет число

Тогда эта операция не будет ассоциативной. Например,

d) Рассмотрим расширенную вещественную прямую. Формально она определяется так - мы берем все вещественные числа и присоединяем к ним формальный значок бесконечности:

Операцию мы выберем довольно хитрую - это среднее арифметическое, но только для обычных чисел. Для бесконечности и для числа с самим собой все будет немного иначе. Итак, операция на будет устроена так:

определенной правилом:
1. для всех
2. Если и то
3.

Тогда такая операция имеет нейтральный элемент - это будет значок потому что мы его и определили как нейтральный в пункте 1. Далее, у каждого элемента будет обратный - причем сам элемент и будет для себя обратным - это мы гарантируем пунктом 3 определения.

С другой стороны, поскольку на различных числах действует как среднее арифметическое, то ассоциативности ждать не приходится:

в то время как