Тема . Линал и алгебра.

.01 Алгебра. Теория групп.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела линал и алгебра.

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#76397

Какие из следующих множеств с указанными операциями будут группами?

a) Множество всех комплексных корней фиксированной степени $n$ из 1, то есть множество

√n-- 1 = {z ∈ ℂ|zn = 1}

с операцией обычного умножения комплексных чисел;
b) Множество всех комплексных корней из 1 любой степени

∞⋃ n√ -- n 1 = {z ∈ ℂ |z = 1 для како го-то n ∈ ℕ} n=1

с операцией обычного умножения комплексных чисел;
c) Множество комплексных чисел с фиксированным модулем $r$ , то есть множество

ℂr = {z ∈ ℂ ||z| = r}

с операцией обычного умножения комплексных чисел;
d) Множество $C[a,b]$ всех непрерывных на некотором отрезке функций

C[a,b] = {f : [a,b] → ℝ|f − непр ер ывна на [a, b]}

с операцией сложения функций. А с операцией умножения функций?
e) Множество $DC (x0)$ всех разрывных в некоторой точке $x0$ функций

DC (x0) = {f : ℝ → ℝ|f − разр ывна в точке x0}

с операцией сложения функций. А с операцией умножения функций?
f) Множество

{0,1,− 1}

с операцией обычного сложения;
g) Подмножество нечетных перестановок в $Sn$

{σ ∈ Sn|σ − н ечётна }

с операцией композиции перестановок;
h) Полная линейная группа $GLn (ℝ)$ , но с операцией сложения матриц;
i) Подмножество $S ⊂ GLn (ℝ )$ , состоящее из симметрических матриц

S = {A ∈ GLn (ℝ)|At = A}

с операцией умножения матриц;
j) Подмножество $S ⊂ Matn×n (ℝ )$ , состоящее из симметрических матриц

t S = {A ∈ Matn ×n(ℝ )|A = A }

с операцией сложения матриц;
k) Множество дробно-линейных функций, то есть функций вида $ax+b f = cx+d$ , $ad− bc ⁄= 0$ с операцией композиции функций.

Показать ответ и решение

a) Это группа. Действительно, проверим, для начала, что на $√-- n1$ операция умножения определена корректно.

Действительно, если $n√ -- z1 ∈ 1$ , $√n-- z2 ∈ 1$ , то очевидно, что и $n√ -- z1 ⋅z2 ∈ 1$ . Почему? Утверждается, что произведение двух корней $n−$ ой степени из 1 вновь дает корень $n −$ ой степени из единицы. Таким образом, нам нужно проверить, что $(z ⋅z )n = 1 1 2$ . Но действительно,

(z1 ⋅z2)n = zn ⋅zn = 1⋅1 = 1 1 2

(мы воспользовались тем, что сами $z1$ и $z2$ в $n$ -ой степени равны 1, поскольку они сами были из $√ -- n1$ ).

Далее, роль нейтрального элемента в $√ -- n 1$ играет обычная комплексная единица, то есть число $z = 1 + 0i$ . Оно, очевидно, является корнем из 1 степени $n$ для любого $n$ .

У каждого комплексного корня $z ∈ n√1--$ степени $n$ из единицы есть обратный по умножению. Действительно, для $√-- z ∈ n1$ обратным будет просто число $z−1 = 1z$ в смысле обычного деления комплексных чисел.

Ясно, что если $z ∈ n√1--$ , то и $z−1 = 1 z$ тоже $∈ n√1-$ . Потому что $(1)n = 1-= 1= 1 z zn 1$ .

То, что операция умножения здесь ассоциативна следует из того, что она ассоциативна и во всём $ℂ$ .

b) Это множество тоже будет группой с операцией умножения. Для краткости это множество

+⋃∞ √n1-- n=1

обозначим как

ℂ ∞ n

Действительно, проверим, для начала, что на $ℂn∞$ операция умножения определена корректно.

Действительно, если $z1 ∈ ℂn∞$ , $z2 ∈ ℂn ∞$ , то очевидно, что и $z1 ⋅z2 ∈ ℂn ∞$ . Почему? Ну, если $z1 ∈ ℂn∞$ , то это означает, что найдётся $k$ такое, что $k√-- z1 ∈ 1$
(потому что $ℂn∞$ является объединением множеств всех корней из 1 всех возможных степеней. Значит, любой элемент из $∞ ℂn$ является корнем какой-то конкретной степени $k$ из единицы).

Аналогично, $z2 ∈ ℂn ∞$ , то это означает, что найдётся $l$ такое, что $√ -- z2 ∈ l1$ . Но тогда их произведение $z ⋅z 1 2$ тоже лежит в $ℂ ∞ n$ . Потому что их произведение тоже будет корнем какой-то степени из единицы. Но какой? Ну, например, степени $k ⋅l$ . Действительно,

k⋅l k⋅l k⋅l kl lk l k (z1 ⋅z2) = z1 ⋅z2 = z1 ⋅z1 = 1 ⋅1 = 1

(На самом деле, для некоторых пар $(k,l)$ степень можно взять и поменьше, чем их произведение $k ⋅l$ - подумайте, для каких пар и какую степень на самом деле надо брать).

Далее, роль нейтрального элемента в $ℂn∞$ играет обычная комплексная единица, то есть число $z = 1 + 0i$ . Оно, очевидно, является корнем из 1 степени $n$ для любого $n$ .

У каждого комплексного корня $z ∈ ℂn∞$ из единицы есть обратный по умножению. Действительно, для $∞ z ∈ ℂn$ обратным будет просто число $−1 1 z = z$ в смысле обычного деления комплексных чисел.

Причем $z− 1$ будет корнем той же степени из 1, какой было и само $z$ .

То, что операция умножения в $ℂn ∞$ ассоциативна следует из того, что она ассоциативна и во всём $ℂ$ .

c) При $r ⁄= 0$ и $r ⁄= 1$ , очевидно, это не будет группой, поскольку произведение $z1$ и $z2$ из множества $ℂr$ даст элемент $z1 ⋅z2$ , у которого модуль будет

2 |z1 ⋅z2| = |z1|⋅|z2| = r ⁄= r, при r ⁄= 0,1

Поэтому операция умножения выводит за пределы $ℂr$ .

При $r = 0$ это множество будет состоять только из нуля $ℂ0 = {0}$ и, конечно, будет группой по умножению. При $r = 1$ это множество точек единичной окружности и оно будет группой по умножению (проверяется аналогично, но еще проще, чем в предыдущих двух пунктах).

d) Рассмотрим для начала операцию сложения. Сумма двух непрерывных на $[a,b]$ функций, вновь будет непрерывной на $[a,b]$ функцией - по теореме о том, что сумма непрерывных функций в какой-то точке - вновь непрерывная функция в этой точке (применяем эту теорему ко всем точкам отрезка $[a,b]$ ).

Нейтральным элементом будет нулевая функция

𝒪 (x ) = 0 ∀x ∈ [a,b]

(она, как константа, непрерывна на любом отрезке).

У каждой $f ∈ C [a,b]$ будет обратная по сложению - это $− f$ (она, очевидно, тоже непрерывна).

То, что операция сложения функций ассоциативна - очевидно.

Следовательно,

(C[a,b],+ )

- группа.

Однако то же самое множество, но с операцией умножения функций группой уже не будет. Поскольку тождественно нулевая функция

𝒪 (x ) = 0 ∀x ∈ [a,b]

лежит в $C[a,b]$ , то чтобы $(C [a,b],⋅)$ было группой, надо, чтобы эта функция была обратима. То есть чтобы нашлась такая функция $g(x)$ , что

𝒪 (x)⋅g(x) = ℰ(x), где ℰ (x ) = 1 ∀x ∈ [a,b]

Но это равенство невозможно, потому что оно невозможно в любой точке. Ведь если фиксировать точку $x0 ∈ [a,b]$ то это последнее равенство означает попросту, что

0 ⋅g(x0) = 1

Чего быть не может.

Следовательно, у нулевой функции в $(C [a,b],⋅)$ нет обратного элемента. Поэтому $(C[a,b],⋅)$ - не группа.

e) Ни по операции сложения, ни по операции умножения это не будет группой.

Возьмём, например, какую-нибудь разрывную функцию в точке $x0$ , скажем,

( { 1 при x ⁄= x f (x ) = 0 ( 0 при x = x0

Тогда $({ − 1 при x ⁄= x0 − f = ( 0 п ри x = x0$ - тоже, очевидно, разрывна в точке $x0$ . Однако их сумма $f + (− f ) = 𝒪$ - тождественно нулевая функция, которая уже, очевидно, непрерывна в $x0$ . Поэтому множество $DC (x ) 0$ не замкнуто относительно сложения функций.

Относительно умножения оно тоже не замкнуто, потому как если рассмотреть

( { 1 п ри x ≤ x0 f(x) = ( − 1 п ри x > x0

разрывную в точке $x0$ , то $2 f ⋅f = f ≡ 1$ - уже непрерывна в точке $x0$ (это просто константа 1). То есть множество $DC (x0)$ не замкнуто и относительно умножения функций.

f) Несмотря на то, что вроде бы у нас есть нейтральный элемент (это 0), у каждого элемента есть обратный и всё ассоциативно, этот пример показывает, насколько важна ненумерованная аксиома о том, что операция не должна выводить за пределы группы. В нашем же случае она выводит.

1+ 1 = 2

А $2/∈{0,1,− 1}$ . Следовательно, это не группа.

g) Это не группа, поскольку в ней нет нейтарального элемента. Нейтральным элементом по отношению к умножению перестановок может быть только тождественная перестановка. Но она - чётна, потому что в ней 0 инверсий. Таким образом, она не лежит в нашем множестве нечётных перестановок. Следовательно, это не группа.

h) Нет, поскольку нейтральным элементом относительно сложения должна быть нулевая матрица. А она не лежит в $GLn (ℝ )$ , поскольку она необратима.

i) Это не так, поскольку множество $S$ не замкнуто относительно операции умножения. Действительно, рассмотрим две симметрические матрицы

( ) ( ) 1 1 1 2 A = 1 1 , B = 2 3

Они, легко видеть, обе симметрические, то есть $At = A,Bt = B$ , однако их произведение

(3 5) A ⋅B = 3 5

уже не является симметрической матрицей.

j) Сумма симметрических матриц - тоже симметрична, поскольку если $At = A, Bt = B$ , то и $A + B$ тоже симметрична, поскольку

(A + B)t = At + Bt = A + B

Далее, в $S$ есть нейтральный элемент по сложению матриц - это нулевая матрица. Далее, у каждой матрицы $X$ из $S$ есть обратная матрица по сложению - это $− X$ , причем очевидно, что если $X$ была симметрической, то и $− X$ - тоже будет такой. Ассоциативность очевидна. Следовательно, это группа.

k) Нетрудно увидеть, что если взять композицию таких функций $ax+b f(x) = cx+d-$ и $ex+f g(x ) = gx+h ,$ то есть $f(g(x)),$ то это будет:

a ex+f-+ b aex+af+bgx+bh- f(g(x )) = --gx+h---- = -----gx+h---- = aex-+-af-+-bgx-+-bh = (ae+--bg)x-+-af-+-bh cegxx++fh + d cex+cfg+xd+ghx+dh- cex + cf + dgx+ dh (ce+ dg)x + cf + dh

что есть ничто иное, как дробно-линейная функция. Следовательно, композиция не выводит за пределы множества дробно-линейных функций.

Роль нейтрального элемента относительно композиции играет тождественная функция $f = x 1$ . То, что у каждой дробно-линейной функции $ax+b f = cx+d$ , $ad− bc ⁄= 0$ есть обратная - это просто понять, если задуматься над тем, зачем нам нужно было условие $ad − bc ⁄= 0$ . Подсказка - это означает, что матрица $( ) a b c d$ - обратима, а, значит, можно попробовать её обратить и рассмотреть дробно-линейную функцию с набором коэффициентов из обратной матрицы, и попробовать взять её композицию с исходной...

Ответ:

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

.01 Алгебра. Теория групп.

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ