.01 Алгебра. Теория групп.

Ясно, что эта перестановка распадается в произведение двух независимых циклов:

Пусть . Очевидно, что . И, поскольку и удовлетворяют соотношению, что , а их порядки взаимно просты, то .

b) Поскольку , то мы видим, что чтобы , нужно, чтобы для некоторого целого , то есть . Минимальное такое равно 12. Следовательно, .

c) Поскольку , а при этом , то .

d) Утверждается, что .

От противного, пусть существует такое , что . Тогда посмотрим на определители левой и правой части. Определитель правой части равен 1. А что с левой?

. Следовательно, . А это при никогда не равно 1.

f) Поскольку , а при этом, очевидно, что в , то по свойству

(только здесь, поскольку операция в группе обозначается плюсом, мы под степенью элемента имеем в виду его кратное)

Получаем, что