.01 Алгебра. Теория групп.

В кроме других образующих нет. Потому что, если взять любое другое , то подгруппа

будет состоять только из чисел, кратных . А значит, всего мы уже не породим.

Ясно, что порождает тогда и только тогда когда , потому что иначе количество элементов в группе

будет меньше, чем (а именно, в подгруппе элементов очевидно всегда столько, каков порядок ). Поэтому если мы хотим, чтобы

То для этого необходимо, чтобы .

Но этого и достаточно. Поскольку если , то в подгруппе ровно элементов, но тогда .

Следовательно, необходимым и достаточным условием того, чтобы вычет числа порождал всю группу - это то, что . Однако

Тогда получаем, что чтобы это число было равно , необходимо и достаточно, чтобы НОД() был равен 1.