Тема . Линал и алгебра.

.01 Алгебра. Теория групп.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела линал и алгебра.

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#76894

Описать все возможные смежные классы группы $G$ по подгруппе $H$ и найти индекс $|G : H |$ в следующих случаях:

a) $G = ℂ$ , $H = ℝ$ ;
b) $G$ - это векторное пространство $ℝn$ , в котором мы забыли, что умеем умножать вектора на числа, а умеем только складывать вектора. То есть $G = (ℝn, +)$ , где $+$ - сложение векторов, $H = {(x,0,0,0,...,0 )|x ∈ ℝ}$ - подгруппа, состоящая из векторов, у которых только первая координата ненулевая (но при этом любая), а остальные нулевые;
c) $G = Sn$ , $H = {σ ∈ Sn|σ(n) = n}$ ;
d) $G = ℤ 100$ , $H = {0,20,40,60,80}$ ;
e) $G = Dn$ , $2π H = { все повороты на n-}$ ;
f) $G = Q8$ , $H = {1,i,− 1,− i}$ ;
g) $G = GLn (ℝ )$ , $H = SLn(ℝ )$

Показать ответ и решение

a) Пусть $z = x + iy$ - фиксированное комплексное число. Тогда его смежный класс по $ℝ$ по определению будет множеством

z + R = {x + iy + t|t ∈ ℝ} = {t+ iy|t ∈ ℝ }

То есть на самом деле это множество всех комплексных чисел с любой вещественной частью, но мнимой частью в точности как у $z$ . Таким образом, смежный класс фиксированного комплексного числа $z$ - это все комплексные числа с такой же мнимой частью и любой вещественной - то есть это прямая, параллельная вещественной оси и находящаяся на уровне $iy$ . Соответственно, все смежные классы - это всевозможные горизонтальные прямые. Получаем, что $|G : H | = ∞$ ;

b) Пусть $v ∈ ℝn$ - фиксированный вектор из $ℝn$ ,

v = (v1,v2,...,vn)

. Тогда его смежный класс по $H$ по определению будет множеством

v + H = {(v1,v2,...,vn) + (x,0,0,...,0)|x ∈ ℝ } = {(x,v2,...,vn)|x ∈ ℝ }

То есть на самом деле это множество всех векторов, имеющих любую первую координату, а все остальные обязательно такие, как у $v$ . Соответственно, все смежные классы - это всевозможные множества векторов, когда на первой координате стоит все что угодно, а все остальные со $2$ по $n −$ ую какие-то фиксированные. Получаем, что $|G : H | = ∞$ ;

c) Подгруппа $H$ состоит из всех перестановок, оставляющих $n$ на месте. Надо понять, как устроены смежные классы по этой подгруппе. Возьмем какую-то подстановку $τ ∈ Sn$ . Как устроен её смежный класс? По определению это

τH = {τ ⋅σ|σ(n) = n}

Но если $σ$ переводит $n$ в $n$ , а $τ$ переводит $n$ в $i = τ(n)$ , то произведение $τ ⋅σ$ переводит обязательно $n$ в $i$ . А все остальные числа от $1$ до $n− 1$ перестановка $τ ⋅σ$ может переводить куда угодно, кроме $i$ .

Иными словами

τH = {τ ⋅σ|σ(n) = n} = {μ ∈ Sn|μ (n) = τ (n )}

То есть смежный класс конкретной перестановки $τ$ состоит из тех и только тех подстановок, которые переводят число $n$ в число $τ(n)$ , а остальные числа - куда угодно.

Соответственно - множество всевозможных смежных классов состоит из $n$ элементов - в зависимости от того, куда перестановка $τ$ переводит число $n$ и будут получаться различные смежные классы.

Таким образом,

|S : H | = n n

d) Возьмем любой вычет $k ∈ ℤ100$ . Что будет его смежным классом $k + H$ ?

k + H = {k + 20t|t = 0,1,2,3,4}

То есть это все вычеты из $ℤ100$ , отличающиеся от $k$ на что-то, кратное $20$ . Разные классы смежности, очевидно, порождаются вычетами $0,1,2,...19$ . То есть это классы

0+ H, 1 + H,2 + H, ...,19 + H

Первый класс - это все числа, дающие остаток 0 при делении на $20$ , второй класс - это числа, дающие остаток 1 при делении на 20, и так далее...

Таким образом, получаем 20 разных классов. То есть $|G : H | = 20$

(можно проверить себя тем, что группа $G$ порядка 100, а подгруппа $H$ порядка 5. Значит индекс $|G : H | = 20$ , а значит мы действительно все правильно посчитали).

e) Поскольку $H$ - это подгруппа порядка $n$ (всего есть $n$ поворотов в группе диэдра $Dn$ ) в группе порядка $2n$ (а именно столько элементов в $Dn$ ), то по теореме Лагранжа сразу можно прикинуть, что $|G : H | = 2$ . То есть должно получиться 2 смежных класса. Действительно, один смежный класс будет состоять из самой подгруппы $H$ и порождаться любым поворотом, а другой смежный класс будет

s ⋅H = {sh |s − пр оизвольная симм етрия ,h ∈ H } = { все симметр ии }

классом всех симметрий. И порождаться он будет любой симметрией. Потому что если мы любую фиксированную симметрию умножим на все возможные повороты, мы получим все возможные симметрии;

f) Опять же, $|Q8| = 8,|H | = 4$ , значит индекс $|G : H | = 2$ , то есть должно быть два смежных класса. Один из них - это сама подгруппа $H$ , а другой - это

j ⋅H = k ⋅H = {j,− j,k,− k}

g) Пусть $A$ - произвольная матрица из $GLn (ℝ)$ . Что будет её смежным классом?

AH = {AT |T ∈ SLn(ℝ)}

Ясно, что у любой матрицы из смежного класса $A$ определитель будет такой же, как и у $A$ . То есть

AH = {AT |T ∈ SLn (ℝ )} ⊂ {M |detM = detA }

На самом деле, здесь имеется не просто включение, но и равенство. Смежный класс любой матрицы $A$ - это в точности все матрицы с определителем, равным $detA$ . Действительно, если мы хотим получить произвольную матрицу $M$ такую, что $detM = detA$ , то мы должны в качестве $T ∈ SL (ℝ) n$ взять $A− 1M$ . И тогда

AT = M

Следовательно,

AH = {AT |T ∈ SLn (ℝ )} = {M ∈ GLn (ℝ )|detM = detA }

То есть разные смежные классы - это матрицы с разными определителями. Таким образом, $|G : H | = ∞$ .

Ответ:

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

.01 Алгебра. Теория групп.

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ