.01 Алгебра. Теория групп.

Пусть - множество всех левых смежных классов, т.е.

Аналогично введем обозначение

Чтобы доказать, что левых и правых смежных классов всегда поровну, достаточно построить биекцию

Построим её по следующему правилу:

Это инъекция, потому что если мы взяли два разных левых смежных класса , то они переходят в правые классы

соответственно. И если так оказалось, что , то это означает, что

Но тогда, раз - это подгруппа, то и

Но это в точности означает, что классы совпадают. Следовательно, - это инъекция.

Далее, - это сюръекция, потому что если пробегает по всем возможным левым смежным классам, то пробегает по всем возможным правым. Почему? Да просто потому, что если пробегает по всем возможным элементам группы , то тоже пробегает по всем возможным элементам группы . Мы доказали то, что хотели. - биекция.