.01 Алгебра. Теория групп.

Надо доказать, что

является чьим-то смежным классом по подгруппе . Попытаемся это доказать и заодно поймем, чьим смежным классом является это пересечение .

Пусть . Такой обязательно найдется из-за того, что мы предполагаем, что

Это значит, что существуют такие такие, что

Но тогда,

А также

Но что же получается? А получается, что пересечение этих смежных классов

равно пересечению

Поскольку , .

А что из себя представляет множество

?

Это есть пересечение множеств

То есть

для некоторых . Но тогда

сокращая на получаем, что То есть и наоборот . Таким образом, и получается, что

Обратное включение очевидно. Следовательно,

А поэтому

То есть пересечение этих смежных классов действительно является смежным классом по пересечению подгрупп и . Причем этот смежный класс порожден любым элементом из пересечения смежных классов .