.01 Алгебра. Теория групп.

Понятно, что группы порядка 1 - абелева, потому что такая группа только одна - тривиальная, и она очевидно абелева.

Группы порядка 2, 3, 5 - это группы простых порядков, и по следствию из теоремы Лагранжа, они циклические.

Остаётся самое интересное - порядок 4. Докажем, что группа порядка 4 всегда абелева.

1 случай. Пусть и пусть существует такой, что . Но тогда, очевидно, - циклическая группа, .

2 случай. Пусть и пусть не существует такого , что . Но порядок любого элемента должен делить 4 по следствию из теоремы Лагранжа. Но мы находимся в ситуации, когда в нет элементов порядка 4. А значит остается только один вариант - то что все элементы, кроме тривиального, имеют порядок 2. Но группа, все элементы которой имеют порядок 2, обязательно абелева.

В свою очередь, придумать неабелеву группу порядка 6 легко - это .