.01 Алгебра. Теория групп.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
a) Рассмотрим 
- группу целых чисел по сложению. Зададимся вопросом, можно ли из неё
изготовить группу и по умножению? Ответ сразу нет - потому что в 
всегда есть ноль, а ноль не
может быть обратим по умножению.
Хорошо, выкинем ноль, то есть рассмотрим 
. Всегда ли она будет группой по умножению? (Вычеты
умножаются как целые числа, а потом приводятся по модулю 
).
b) Осознать, что 
является группой по умножению только в случае, если 
- простое число. В
общем же случае вычет 
обратим по умножению в 
тогда и только тогда, когда 
и 
-
взаимно просты. Если оставить только такие вычеты, то получаем группу
уже по умножению. Её порядок, то есть количество взаимно-простых с 
вычетов по модулю 
обозначается через 
.
c) Из теоремы Лагранжа получить малую теорему Ферма. А именно, доказать, что если 
и 
-
взаимно просты, то
a), b) Действительно, чтобы все элементы в 
были обратимы по умножению, необходимо и
достаточно, чтобы они 
было простым числом. Докажем более общий факт, из которого этот будет
просто вытекать. А именно, докажем, что вычет 
обратим по умножению тогда и только тогда,
когда 
.
Действительно, 
обратим по умножению тогда и только тогда когда существует такое 
,
что 
в 
. То есть когда для некоторого 
выполнено
Или
Теперь, если 
, то левая часть уравнения выше делится на этот НОД, а правая - не
делится. Значит, необходимо, чтобы 
.
На самом деле, этого и достаточно, потому что если 
, то по следствию их алгоритма
Евклида поиска НОД-а, этот НОД всегда можно выразить линейной комбинацией 
, то есть как
раз найдутся такие 
, что
Осталось только взять и привести 
по модулю 
и это и будет обратным для 
.
c) Из теоремы Лагранжа следует, что в конечной группе 
любой элемент 
в степени 
равен
единице группы. Осталось только применить это следствие к группе
Её порядок мы обозначаем через 
, а поэтому для любого взаимно-простого с 
числа 
, то
есть для любого элемента этой группы выполнено
Но на уровне уже целых чисел это означает, что
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
