.01 Алгебра. Теория групп.

a) По определению нормальность подгруппы в группе означает, что для любой матрицы и для любой матрицы сопряженная к при помощи вновь лежит в , то есть

Действительно, проверим, что это так. По определению это означает, что матрица должна иметь определитель 1. Но это и правда так:

Следовательно, сопряженная к любой матрице из при помощи любой матрицы из вновь лежит в . Следовательно,

b) По определению нам надо проверить, что для любой и для любой выполнено

И что же, нам проверять все возможные сопряжения всеми возможными подстановками ? В принципе, можно действительно взять и потратить лишние полчаса на эту увлекательную проверку. Мы же сделаем не так.

Во-первых, заметим, что наша подгруппа является еще и подгруппой в (все подстановки из - четны).

Далее, , поскольку , а подгруппа индекса 2 всегда нормальна.

Следовательно, уж точно можно сказать, что для любой и для любой выполнено

Однако, теперь вспомним такую деталь: сопряжение любым элементом группы сохраняет порядок элемента, то есть для любой и для любой выполнено

Но все нетривиальные элементы имеют порядок 2. Остается лишь заметить, что все остальные нетривиальные элементы из имеют порядок не 2, а 3. А поэтому, конечно, в силу нормальности выполнено , но поскольку

То ничего не остается кроме того, чтобы . То есть сопряжение при помощи любых элементов не выведет не только за пределы , но и за пределы .

c) В есть следующие нетривиальные подгруппы:

Нетрудно показать, что других подгрупп в . Нормальность первой очевидна, потому что - эта подгруппа является центром и поэтому нормальна. Нормальность всех остальных очевидна, поскольку все остальные подгруппы - индекса 2.