.01 Алгебра. Теория групп.

Обозначим через подгруппу , состоящую из всех поворотов в . Поскольку , то, как мы уже знаем, .

1. На самом деле, можно утверждать даже большее. Любая подгруппа в , будет нормальна в .

То есть если - подгруппа , состоящая из поворотов (не обязательно всех возможных!), то . Докажем это. Надо проверить, что для любого , выполнено

Заметим прежде всего, что выполнены следующие определяющие соотношения. Если - любой поворот, и - тоже какой-то поворот, то

(любые два поворота коммутируют)

Если - какая-то симметрия, а - какой-то поворот то

Первое объясняется тем, что любая симметрия, применная дважды, ничего не меняет. Второе соотношение - следствие первого, коль скоро произведение любой симметрии на любой поворот - это вновь симметрия.

Откуда мы уже сможем получить нормальность в . Действительно, еще раз вспомним, нам надо было проверить, что для любого , выполнено

Если - поворот, то

(просто взяли и прокоммутировали поворот с поворотом)

Если - симметрия, то - тоже симметрия, а значит , следовательно

Все, мы проверили, что чем ни сопрягай любой элемент из , вновь получаем элемент из . Значит, любая подгруппа в группе поворотов нормальна в .

2. Пусть теперь - какая-то подгруппа в , состоящая не только из поворотов, то есть при этом . То есть существует какая-то симметрия такая, что .

2.1. Пусть - нечётно. Тогда абсолютно все симметрии - это симметрии относительно осей, соединяющих вершину с серединой противоположной стороны. Но все такие симметрии сопряжены в . Потому что если - осевая симметрия относительно оси , а - любой поворот, то

- это симметрия относительно оси .

Но мы можем любую ось симметрии правильного нечётноугольника перегнать в любую другую при помощи поворота на угол вида . Следовательно, если и , - симметрия, то и любая другая симметрия тоже. А поэтому . И в таком случае никаких других нетривиальных нормальных подгрупп нет.

2.2. Пусть - четно. В этом случае есть два вида симметрий. Оси одних соединяют противоположные вершины, а оси других проходят через середины противоположных сторон.

Итак, пусть - симметрия т.ч. и . Тогда должна быть замкнута относительно сопряжений.

Но тогда, если - это поворот на угол , то обязана содержать . Но тогда, она обязана содержать и этот элемент, умноженный на справа. То есть

Однако

То есть в таком случае в обязан лежать элемент , то есть поворот на .

Если при этом еще и , то в есть один поворот на минимально возможный угол и одна симметрия и тогда .

В противном же случае мы получаем подгруппу, в которой есть какое-то отражение и поворот на , но нет поворота на . Тогда там будут все симметрии первого типа и все повороты кратные , либо все симметрии второго типа и все повороты кратные .