.01 Алгебра. Теория групп.

a)

Умножая теперь обе части равенства на , получаем:

b) Действительно,

Поэтому получаем по определению, что .

c) Если , то их произведение - тоже , потому что

Следовательно, ядро замкнуто относительно умножения. Оно будет замкнуто и относительно взятия обратного, потому что если , то и - тоже , так как

Теперь разберемся с образом. Если , то это означает, что существует такой, что , а также что существует такой, что . Но тогда существует и такой, что , а именно, надо взять

Но это и означает, что образ замкнут относительно умножения. Замкнутость относительно обращения проверяется так: если , то это означает, что существует такой, что . Но тогда существует и такой, что , а именно, надо взять

То есть образ замкнут и относительно взятия обратного.

d) Раз - циклическая, то существует такой , что

Но тогда утверждается, что - тоже циклическая и порождается элементом , то есть

Действительно, пусть - произвольный элемент группы . Коль скоро - сюръекция, то обязательно найдется такой, что .

Однако , а поэтому для некоторого целого .

Но тогда

для некоторого целого . Ну вот мы и доказали, что произвольный - есть целая степень . Следовательно,

e) Пусть . Тогда

То есть мы получаем такое соотношение:

Но это означает, что порядок делится на - по общему свойству порядка (если элемент в какой-то степени тривиализовался, то эта степень делится на его порядок).