.01 Алгебра. Теория групп.

a) Нет, так как если бы был изоморфизм , то, в частности, был бы биекцией и это бы означало, что тоже как и счётно. Но - несчётно;

b) Нет, поскольку в есть элемент порядка 4, а именно это число . А в нет ни одного элемента порядка 4, потому что уравнение имеет в только 2 решения - это , но оба эти элемента имеют порядок 2 в . А при изоморфизме сохраняются все порядки всех элементов;

c) Нет, потому что - циклическая, а - нет. А при изоморфизме сохраняются все свойства группы, в том числе и цикличность;

d) Нет, поскольку в есть элемент порядка 4, а именно это вычет . А в нет ни одного элемента порядка 4, все нетривиальные элементы там имеют порядок 2;

e) Нет, потому что центр состоит из всех возможных матриц вида , где (докажите!).
В то время как центр состоит из двух матриц - , если - четно и только из одной матрицы , если - нечетно. А при изоморфизме центр переходит в центр. Получается, что у одной группы центр всегда бесконечен, а у другой всегда конечен. Значит, между ними не может быть изоморфизма. ;
f) Да, изоморфизм такой - вычету ставим в соответствие корень из единицы, имеющий аргумент

;
g) Да. Изоморфизм

задается простой формулой

Как ни странно, а этот пример показывает удивительный случай - группа может быть изоморфна своей собственной подгруппе, то есть подгруппе, не совпадающей со всей группой;