.01 Алгебра. Теория групп.

Поскольку - циклическая, то все однозначно определяется тем, куда перейдет её порождающий элемент 1.

Действительно, если , то для любого , если мы хотим, чтобы было гомоморфизмом, должно быть выполнено

То есть все однозначно определяется - образом единицы.

Куда же можно отправить эту единицу, то есть чему может быть равно ?

Ну, заметим, что для , а по свойству порядка при гомоморфизме должен делить . Таким образом, может быть равно 1, 2, 3, 4, 6 или 12.

Получаем 3 разных гомоморфизма, так как в порядки элементов делят 15, а среди чисел 1, 2, 3, 4, 6, 12 делит 15 только число 1 и число 3:

1. и это тогда нулевой гомоморфизм - все отображается в ноль;

2. , так как 5 - это элемент порядка 3 в , тогда ;

3. , так как 10 - это элемент порядка 3 в , тогда ;