.01 Алгебра. Теория групп.

Это бывает тогда и только тогда, когда и - взаимно просты.

Действительно, построим гомоморфизм

Заданный правилом

Это действительно гомоморфзим, потому что для любых выполнено, что

И аналогично

Вычислим его ядро. Его ядро это в точности

1. Теперь, если и - взаимно просты, то влечет, что , то есть ядро в таком случае тривиально, поскольку в на делится только 0. То есть .
Тогда - инъективный гомоморфизм. Но в группе у нас элементов, а в группе у нас элементов. Поэтому любая инъекция между этими множествами обязана быть и сюръекцией. Следовательно, - изоморфизм.

2. Если же и - не взаимно просты, то у них существует нетривиальный простой делитель , то есть . И тогда мы утверждаем, что группа не может быть циклической. Почему? По той простой причине, что если мы возьмем любой элемент и умножим его на , то, поскольку , то обязательно получится

с другой стороны, поскольку , то обязательно получится

Следовательно, для любого выполнено

То есть любой элемент группы имеет порядок не больше, чем , что меньше, чем . Следовательно, группа в таком случае не может быть циклическая, потому что в ней все элементы имеют порядок меньше, чем , в то время как если бы она была циклической, то её циклический порождающий обязан был бы иметь порядок ровно .