.01 Алгебра. Теория групп.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Можно ли нетривиально (то есть так, чтобы оба сомножителя были нетривиальными группами)
разложить в прямое произведение следующие группы:
a) 
;
b) 
;
c) 
;
d) 
;
e) 
;
f) 
;
g) 
;
a) Если бы 
можно было бы разложить в прямое произведение своих собственных подгрупп, то
, где 
и 
- какие-то нетривиальные подгруппы в 
, которые, в частности, по
критерию разложимости в прямое произведение, обязаны тривиально пересекаться. То есть
обязательно должно быть выполнено, что 
.
Однако, 
- циклическая группа, и поэтому любая её подгруппа циклическая. Следовательно, 
и
- циклические подгруппы. Но они обязаны быть бесконечными циклическими подгруппами, потому
что в 
нет элементов конечного порядка (кроме 
), следовательно, 
и 
- собственные
нетривиальные циклические подгруппы в 
. То есть 
и 
изоморфны 
и имеют вид 
и 
для каких-то 
и 
.
Но тогда 
и 
не могут тривиально пересекаться, поскольку 
.
Следовательно, 
так разложить нельзя.
b) Если бы 
можно было бы разложить в прямое произведение своих собственных подгрупп, то
, где 
и 
- какие-то нетривиальные подгруппы в 
, которые, в частности, по
критерию разложимости в прямое произведение, обязаны тривиально пересекаться. То есть
обязательно должно быть выполнено, что 
.
Итак, пусть 
и 
такие подгруппы. Пусть 
, 
.
Пусть 
имеет вид 
, пусть 
имеет вид 
. Тогда
Аналогично,
Тогда
, и аналогично,
Следовательно, 
. То есть, 
и 
не могут тривиально пересекаться,
Следовательно, 
так разложить нельзя.
c) Рассмотрим две такие подгруппы в 
:
Они нормальны в 
(потому что в абелевой группе все подгруппы нормальны), они очевидно
тривиально пересекаются и, более того, любой элемент из 
представляется в виде элемента из 
плюс элемент из 
. Следовательно, по критерию разложимости
d) Рассмотрим две такие подгруппы в 
:
Они нормальны в 
(потому что в абелевой группе все подгруппы нормальны), они очевидно
тривиально пересекаются и, более того, любой элемент из 
представляется в виде элемента из 
умножить на элемент из 
- это по сути просто тригонометрическая форма комплексного числа.
Следовательно, по критерию разложимости
e) Если бы 
нетривиально раскладывалась в прямое произведение 
, то 
и 
были бы собственными подгруппами в 
, тривиально пересекающимися и нормальными в 
. Но,
как мы знаем, нетривиальных нормальных подгрупп в 
не так-то много - а именно - такая
подгруппа только одна - это 
. Следовательно, у нас просто не наберется достаточно нормальных
подгрупп в 
, чтобы её разложить.
f) Нет, так как это группа порядка 2017, а 2017 - простое число. Но если бы нашлось разложение в
виде
То порядок группы 
равнялся бы произведению порядков подгрупп 
и 
. А такого не
может быть.
d) Да, например, по китайской теореме об остатках,
a) Нет;
b) Нет;
c) Да;
d) Да;
e) Нет;
f) Нет;
d) Да
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
