.01 Алгебра. Теория групп.

Будем доказывать от противного. Пусть - конечно порожденная свободная абелева группа. И пусть оказалось так, что в есть базис из элементов. Тогда можно построить изоморфизм

С другой стороны, пусть оказалось так, что в есть базис из элементов и . Тогда можно построить изоморфизм

Но тогда будет существовать изоморфизм

Давайте для краткости обзовём .

И мы сейчас получили, что

Введем такое обозначение: под будем понимать группу, в которой все элементы умножили на 2. То есть

Очевидно, что - (нормальная) подгруппа в .

По сути она состоит из таких наборов целых чисел в , у которых все координаты кратны 2.

Ну тогда легко понять, что

поскольку просто-напросто

В то же время, по тем же соображениям

А потому

А потому невозможно, чтобы группы и были бы изоморфны, потому что тогда были бы изоморфны и группы и соответственно, а это влекло бы изоморфизм фактор-групп

Но изоморфные группы имеют один и тот же порядок и тогда бы мы получили, что

Что уже явное противоречие. Следовательно, при разных и изоморфизма между и быть не может, а это равносильно тому, что во всех базисах к.п.с.а.г. будет всегда одно и то же количество элементов.

Замечание. Впрочем, чтобы подчеркнуть схожесть этой теории с линейной алгеброй, скажем, что данный факт можно было бы доказывать абсолютно так же, как доказывается основная лемма о линейной зависимости в линале.