.01 Алгебра. Теория групп.

a) Базис в надо взять, например, такой:

Очевидно, что эти два элемента линейно независимы, и порождают всю группу (например потому, что если отнять из первого элемента второй, то получим уже стандартный базис в ).

Тогда порождающая система в получается вот такой: , и поскольку элементы с нулевыми коэффициентами мы конечно не пишем в базисе, то базис состоит только из элемента . Мы видим, что базисы в и в действительно согласованы - все элементы базиса получаются из элементов базиса умножением на какие-то целые числа (а именно, на 1 и на 0 соответственно);

b) Это неправда. Например, в можно выбрать и неудачный базис - в данном случае стандартный. Действительно, если в качестве базиса в выбрать

То мы никак из этого базиса, умножая на какие угодно целые числа его элементы не сможем получить никакой базис в . Действительно, если оба и взять с ненулевыми коэффициентами, то это вновь будет базис , а не , а если одно из них занулить, то получим либо целочисленную ось , либо целочисленную ось на плоскости, а нам-то нужна диагональ.

Вывод. Не любой базис объемлющей свободной группы можно досогласовать до базиса её свободной подгруппы .