.01 Алгебра. Теория групп.

Ясно, что такие абелевы группы всегда конечно порождены (даже больше - они просто конечны, а, значит, естественно конечно порождены).

Но любая конечно порожденная абелева группа изоморфна прямому произведению циклических либо вида , либо вида для какого-то простого и натурального .

Ясно, что в разложении нашей группы не могут встретиться группы типа (потому что они бесконечные, а наша группа конечна). То есть там будут только группы вида . Ну вот и надо перечислить все возможные разложения с точностью до изоморфизма.

Для этого разложим по степеням простых порядок нашей группы:

Тогда получаются такие варианты:

1. (по китайской теореме об остатках);
2. ;
3. ;
И никаких других способов разложить нет. Для полного счастья осталось показать, что перечисленные 3 группы между собой не изоморфны. Это можно сделать так - ни к какой паре из этих двух групп не применяется китайская теорема об остатках для того, чтобы одну группу превратить в другую. А когда КТО не применяется, тогда группы не изоморфны. Но можно показать это и более явно.

Контрольный вопрос. А где в этом списке, например, группа ? Мы её случайно не забыли написать? А где в нем группа ? Про неё мы случайно не забыли?