Тема 16. Сложные задачи прикладного характера

16.02 Задачи №16 из сборника И.В. Ященко

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела сложные задачи прикладного характера

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#20087Максимум баллов за задание: 2

15 января планируется взять кредит в банке на 2 года. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что за 15-й месяц кредитования нужно выплатить 44 тыс. рублей.

Сколько тысяч рублей нужно будет вернуть банку в течение всего срока кредитования?

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 35

Показать ответ и решение

Пусть $S$ тыс. руб. — размер взятого кредита. Кредит взят на 2 года с помесячной оплатой, то есть число периодов выплат $n= 24.$ Пусть $r = 0,01$ — доля, на которую растёт долг после начисления процентов.

Поскольку долг должен уменьшаться на одну и ту же величину после каждого платежа, то эта величина составляет $S- n$ тыс. руб. Составим таблицу, отображающую состояние долга.

|-----|------------------|------------------|---------------| М есяц |Долг до начисления Долг после начисленияВыплаты, ты с. руб. | |процентов, тыс. руб.|процентов, тыс. руб. | |-----|------------------|------------------|---------------| | 1 | S | S(1+ r) | S+ nSr | |-----|------------------|------------------|----n--n-------| | 2 | n−-1S | n-− 1S(1+ r) | S-+ n−-1Sr | |-----|-------n----------|-----n------------|--n----n-------| | 3 | n−-2S | n-− 2S(1+ r) | S-+ n−-2Sr | | | n | n | n n | | ... | ... | ... | ... | | | | | | | 15 | n-− 14S | n−-14S(1 + r) | S+ n-−-14Sr | | | n | n | n n | | ... | ... | ... | ... | | | | | | | n | 1S | 1S(1+ r) | S+ 1Sr | --------------n----------------n-----------------n--n-------|

Поскольку за 15-ый месяц кредитования нужно выплатить 44 тыс. рублей, то получим равенство

$S-+ n−-14Sr = 44 (n n ) 1 10 S 24+ 24⋅0,01 = 44 1,1 24 S = 44 ⇔ S = 960$

Выплаты образуют убывающую арифметическую прогрессию с разностью $d = − Sr. n$ По формуле суммы членов арифметической прогрессии найдём сумму всех выплат:

$S S 1 ( ) n+ Sr+ n-+ nSr n+ 1 -------2-------⋅n = S 1+ r-2--- = ( ) 25 = 960⋅ 1 +0,01⋅2 =960⋅1,125 = 1080$

Таким образом, вернуть банку в течение всего срока кредитования нужно 1080 тыс. руб.

Ответ: 1080

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#46078Максимум баллов за задание: 2

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 650 тыс. рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:

— в январе 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг возрастает на 19% по сравнению с концом предыдущего года;

— в январе 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2035 года кредит должен быть полностью погашен.

Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.

Показать ответ и решение

Составим таблицу, позволяющую отслеживать долг, приняв $S$ тыс. рублей $=$ 650 тыс. рублей, за $xi$ тыс. рублей — платеж в $i$ -ый год. Соответственно все неизвестные в таблице измеряются в тыс. рублей.

|Год--|Д-олг-до начисления-%|Д-олг после начисления-%|П-латеж-| |----|-------------------|----------------------|--------| |2026-|---------S---------|---------1,19S---------|---x1---| |2027-|--------910S--------|-------1,19⋅ 910S------|---x2---| -2028----------810S----------------1,19⋅ 810S----------x3---- |2029 | 7-S | 1,19⋅ 7-S | x4 | |----|--------160---------|------------160--------|--------| |2030-|--------150S--------|-------1,19⋅150S-------|---x5---| |2031-|--------10S--------|-------1,16⋅10S-------|---x6---| |2032-|--------410S--------|-------1,16⋅ 410S------|---x7---| |2033 | 310S | 1,16⋅ 310S | x8 | |2034-|--------2-S--------|-------1,16⋅ 2-S------|---x----| |----|--------110---------|------------110--------|----9---| -2035----------10S----------------1,16⋅10S----------x10----

Каждый платеж равен разности суммы долга после начисления процентов в этот год и суммы долга до начисления процентов в следующий год. Следовательно, общая сумма выплат по кредиту равна

10 ∑ xi = x1+ x2+ ...+ x9+ x10 = 1 ( ) ( ) ( ) = 1,19S− -9S + 1,19⋅-9S − 8-S +...+ 1,19 ⋅ 6-S−-5S + 10 10 10 10 10 ( ) ( ) ( ) + 1,16⋅-5S − 4-S + 1,16⋅ 4-S− -3S + ...+ 1,16⋅-1S − 0 = 10 10 10 10 10 ( 9 6) ( 9 8 5 ) = 1,19S 1 + 10-+ ...+ 10 − S 10 + 10 + ...+ 10 + (-5 4- -1) ( 4- -3 1-) + 1,16S 10 + 10 + ...+ 10 − S 10 + 10 +...+ 10 = = 1,19⋅4⋅S − 3,5S+ 1,16⋅1,5S − S = = 2S = 1300

Следовательно, общая сумма выплат по кредиту равна 1300 тыс. рублей.

Ответ:

1300 тыс. рублей

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#46079Максимум баллов за задание: 2

15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 600 тысяч рублей на $(n+ 1)$ месяц. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца с 1-го по $n$ -й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

– 15-го числа $n$ -го месяца долг составит 200 тысяч рублей;

– к 15-му числу $(n +1)$ -го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите $n,$ если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 852 тысячи рублей.

Показать ответ и решение

Заметим, что долг за $n$ месяцев уменьшится с 600 тыс. рублей до 200 тыс. рублей, то есть уменьшится на 400 тыс. рублей. Так как с 1-го по $n$ -ый месяц долг уменьшается каждый месяц на одну и ту же величину, то эти 400 тыс. рублей разделены на $n$ месяцев и каждый месяц 15-го числа долг становится на $1-⋅400 n$ тыс. рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Составим таблицу, позволяющую отслеживать долг. Все неизвестные в таблице измеряются в тыс. рублей.

|------|-------------|---------------------------------|----------------|--------------------------| |Месяц | Долг до | Д олг после | Долг после | П латеж | |------|начисления-%--|----------начисления-%------------|----платеж-а-----|--------------------------| |1-----|----600------|----------600-+0,03⋅600-----------|--600−-1n-⋅400----|-----n1⋅400+-0,03⋅600------| |2 | 600 − 1n ⋅400 | 600− n1⋅400+ 0,03⋅(600− 1n ⋅400) | 600− 2n ⋅400 | 1n ⋅400+ 0,03⋅(600 − 1n ⋅400) |...----|-----...------|---------------...----------------|------...-------|------------...------------| |------|-----n−2-----|-----n−2----------(-----n−2----)-|------n−1-------|1-----------(-----n−2----)| |n−-1--|600−--n-⋅400-|600-−--n-⋅400+-0,03⋅(600−--n-⋅400)-|-600−--n--⋅400---|n-⋅400+-0,03⋅(600-−--n-⋅400)| |n-----|600−-n−n1⋅400-|600-−-n−n1⋅400+-0,03⋅-600−-n−n1⋅400--|600−-nn ⋅400=-200|1n-⋅400+-0,03⋅-600-−-n−n1⋅400-| -n+-1-------200-------------------1,03⋅200---------------------0---------------1,03⋅200=-206--------

Общая сумма выплат равна сумме всех платежей. Заметим, что все платежи с 1-го по $n$ -ый образуют арифметическую прогрессию.

Первый член прогрессии равен

( ) a1 = 1-⋅400+ 0,03 ⋅ 600 − n−-1⋅400 n n

Последний член прогрессии равен

1- an = n ⋅400 +0,03⋅600

Разность прогрессии равна

1 d = 0,03 ⋅n ⋅400

Воспользуемся для суммы этих платежей формулой суммы $n$ членов арифметической прогрессии

Sn = a1+-an ⋅n 2

Тогда общая сумма выплат равна

( ) -1n ⋅400+-0,03-⋅600−-n−n1-⋅400-+-1n-⋅400-+-0,03⋅600⋅n + 206 = 612 +12n 2

Учитывая условие, получаем уравнение

852= 612+ 12n ⇔ n =20

Ответ:

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#46114Максимум баллов за задание: 2

Бригаду из 30 рабочих нужно распределить по двум объектам. Если на первом объекте работает $p$ человек, то каждый из них получает в сутки $200p$ рублей. Если на втором объекте работает $p$ человек, то каждый из них получает в сутки $(50p+ 300)$ рублей. Как нужно распределить рабочих по объектам, чтобы их суммарная суточная зарплата оказалась наименьшей? Сколько рублей в этом случае придется заплатить за сутки всем рабочим?

Показать ответ и решение

Пусть на первом объекте работает $x$ человек, тогда суммарная суточная зарплата для первого объекта составляет $2 200x$ рублей. Если на втором объекте работает $y$ человек, то суммарная суточная зарплата на этом объекте равна $y(50y+ 300)$ рублей. Заметим, что $x+ y = 30,$ откуда $x = 30 − y.$ Следовательно, суммарная суточная зарплата на обоих объектах равна

∑ = 200x2+ y(50y +300)= 200(30− y)2+ y(50y +300)= 50(5y2− 234y+3600)

Нам необходимо найти такой целый $y ∈ [0;30],$ при котором $∑$ принимает наименьшее значение.

Рассмотрим функцию

f(t)= 5t2− 234t+ 3600

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Абсцисса вершины параболы равна $t0 = 23,4.$ Следовательно, схематично график функции выглядит так:

$t222334,4$

Так как парабола симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через вершину параболы, то $f(23)< f(24).$ Следовательно, на второй объект следует поставить 23 рабочих, значит, на первый объект — 7 рабочих. И тогда суммарная суточная зарплата в рублях равна

∑ = 50 ⋅f(23)= 43150 min

Ответ:

1-й объект — 7 человек

2-й объект — 23 человека

43 150 рублей

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#46142Максимум баллов за задание: 2

Цена ценной бумаги на конец года вычисляется по формуле $S = 1,1S0+ 2000,$ где $S0$ — цена этой ценной бумаги на начало года в рублях. Максим может приобрести ценную бумагу, а может положить деньги на банковский счет, на котором сумма увеличивается за год на 12%. В начале любого года Максим может продать бумагу и положить все вырученные деньги на банковский счет, а также снять деньги с банковского счета и купить ценную бумагу. В начале 2021 года у Максима было 80 тыс. рублей, которые он может положить на банковский счет или может приобрести на них ценную бумагу. Какая наибольшая сумма может быть у Максима через четыре года? Ответ дайте в рублях.

Показать ответ и решение

По условию в начале каждого года Максим либо покупает на все деньги ценную бумагу, либо кладет все деньги на банковский счет. Проанализируем, какую сумму Максим сможет выручить ровно за один год, если изначально у него есть $S0$ рублей.

Если в начале года Максим купил ценную бумагу за $S0$ рублей, то в конце этого года у него будет $1,1S0+ 2000$ рублей. Таким образом, прибыль Максима составит

1,1S0 +2000− S0 = 0,1S0+ 2000 рублей

Если в начале года Максим положил $S 0$ рублей на банковский счет, то в конце года сумма его вклада будет равна $1,12S0.$ Таким образом, прибыль Максима составит

1,12S0− S0 = 0,12S0 рублей

Сравним $0,1S0+ 2000$ и $0,12S0.$ Для этого найдем их разность:

2 (0,1S0 +2000)− 0,12S0 = 2000− 0,02S0 = 100(100000 − S0)

Заметим, что полученное выражение больше 0, если $S0 < 100000,$ и меньше 0, если $S0 > 100000.$

Таким образом, если у Маским меньше 100000 рублей, то его прибыль будет выше, если он вложится в ценную бумагу, а если у Максима больше 100000 рублей, то прибыль будет выше, если он положит деньги на банковский счет.

Изначально Максим имеет $S0 = 80000$ рублей. Значит, в первый год он должен купить ценную бумагу, следовательно, в конце года Максим будет иметь

S1 = 1,1S0+ 2000= 1,1 ⋅80000+ 2000= 90000 рублей

На начало второго года Максим будет иметь $S1 = 90000$ рублей. Значит, во второй год он должен оставить ценную бумагу, следовательно, в конце года Максим будет иметь

S2 = 1,1S1+ 2000 = 1,1⋅90000+ 2000 = 101000 рублей

На начало третьего года Максим будет иметь $S2 = 101000$ рублей. Значит, в третий год он должен продать ценную бумагу и положить все деньги на вклад, так как $S2 > 100000.$ Таким образом, в конце года Максим будет иметь

S3 = 1,12S2 = 1,12 ⋅101000= 113120 рублей

На начало четвертого года Максим будет иметь $S = 113120 3$ рублей. Значит, на четвертый год он должен оставить все деньги на вкладе. Таким образом, в конце четвертого года Максим будет иметь

S4 = 1,12S3 = 1,12⋅113120 = 126694,4 рублей

Ответ: 126694,4 рубля

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2