Олимпиада им. Эйлера

Если произведение оставшихся факториалов — куб натурального числа, то для любого простого числа степень, в которой оно входит в это произведение, должна делиться на Простое число входит ровно в четыре факториала: от до и в каждый — в первой степени. Поэтому вычеркнут должен быть один из этих четырех факториалов. Но тогда простое число будет входить ровно в факториалов: от до исключая вычеркнутый. Противоречие.

Пусть и — основания высот из и соответственно, а — ортоцентр треугольника Тогда

поскольку Тогда треугольники — равнобедренные. Значит,

и по неравенству треугольника. Просуммировав всё это, получим: ЧТД.

Так как Так как Пусть и — перпендикуляры, опущенные из и на и соответственно.

Тогда прямоугольные треугольники и равны по гипотенузе и острому углу, откуда Это значит, что расстояния между прямыми и и между прямыми и равны. Таким образом, прямые и пересекаясь, образуют ромб где — точка пересечения и По свойству ромба =

Пусть отрезок пересекает диагонали и в точках и соответственно. Тогда = = Значит, в треугольнике углы при основании равны, он равнобедренный, и поэтому внешняя биссектриса его угла параллельна что и требовалось. Если же полученное равенство углов сразу говорит, что — биссектриса угла

Запишем теорему синусов для треугольников и Поскольку и получаем, что Отсюда возникают два случая, либо углы и равны, либо они в сумме дают В первом случае четырёхугольник был бы вписанным, но это невозможно, потому что по условию точка лежит внутри треугольника . Следовательно, углы в сумме дают

Вспомним про то, что биссектриса угла перпендикулярна На самом деле, это условие равносильно равенству углов и Продлим за точку на длину отрезка Получим точку Углы и вертикальные, а значит — биссектриса угла Получается, что мы отразили точку относительно В таком случае, Также то есть четырёхугольник вписанный, потому что сумма противолежащих углов равна Но тогда Таким образом, треугольник равнобедренный, это даёт требуемое.

Оценка. Положим и НОД Тогда и Так как числа и взаимно просты, должно делиться на Поэтому и откуда и

Пример.

Нетрудно построить цикл, проходящий по разу через все клетки доски так, что соседние клетки в нем имеют общую сторону: можно, например, пройти всю первую вертикаль от нижней клетки до верхней, потом ходить по вертикалям “змейкой” от верхней горизонтали до второй снизу и обратно, а по последней вертикали вернуться на первую горизонталь и по ней — в исходную клетку. “Расклеим” все общие стороны клеток на доске, кроме общих сторон между соседними клетками нашего цикла. Даже после этого выброшенных клеток будут разбивать этот цикл не более чем на частей, а при обратной склейке цикла в доску число частей не увеличится.

Первое решение. Пусть — середина отрезка Поскольку четырехугольник — параллелограмм, точка является серединой отрезка

Обозначим и Так как — равнобокая трапеция, откуда мы получаем что и Кроме того, поскольку и равнобедренные треугольники и подобны, поэтому

Треугольники и также подобны, так как

и Значит, откуда что и требовалось.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Как и в первом решении, введём точку и покажем, что — равнобокая трапеция. Отложим на луче отрезок Поскольку перпендикуляры, опущенные на из точек и равны, откуда Поэтому четырёхугольники и — также равнобокие трапеции; в частности, вписана в некоторую окружность С другой стороны, поскольку отрезки и параллельны и равны, — параллелограмм, откуда Значит, — также равнобокая трапеция. Поскольку точки и лежат на точка лежит на этой же окружности. Из вписанного четырёхугольника теперь получаем Осталось заметить, что — параллелограмм (ибо параллелен и равен ), откуда

Заметим, что в выражении нет переменной Попробуем от неё избавиться и в исходных условиях. Для этого из выразим Теперь подставим полученное во второе условие:

Раскрываем скобки и получаем:

Приводим подобные слагаемые и после делим уравнение на 2:

Вернёмся к выражению В нём группируем кубы и квадраты, пользуемся формулами сокращенного умножения:

Вынесем из обеих скобок:

Выше мы уже нашли, что вторая скобка равна тогда получаем

— целое число, поэтому делится на

На продолжении отрезка за точку выберем точку так, что

Тогда

Следовательно, треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому и Заметим, что

Таким образом, треугольник равнобедренный и

Пусть — самая короткая из высот треугольника Если она равняется медиане или биссектрисе то треугольник, очевидно, равнобедренный. Если она равна медиане или биссектрисе то тогда не короче высоты Значит, она равна так как по нашему предположению — самая короткая из высот. Итак, всё свелось к случаю, когда Но тогда прямоугольные треугольники и равны по катету и гипотенузе, откуда

Пусть корни равны . Очевидно, что они положительны. Для наглядности изобразим точки из условия на графике:

Заметим, что равенство равносильно равенству , а оно в свою очередь равносильно подобию и . Наконец, оно равносильно равенству , которое мы будем доказывать. Заметим, что данная функция является квадратным трёхчленом относительно и имеет корни и , а значит по теореме Виета . Также понятно, что , . Тогда при подстановке в равенство получим

Отложим на продолжении отрезка за точку отрезок

Поскольку биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны, прямая является биссектрисой угла смежного с углом и, значит, серединным перпендикуляром к Поэтому откуда получаем, что прямые и параллельны. Заметим, что при этом прямые и не параллельны, так как иначе точка пересечения диагоналей параллелограмма была бы, вопреки условию, серединой отрезка Так как, кроме того, получается, что — равнобедренная трапеция, и равенство — ее известное (и легко доказываемое) свойство.

Проведём через точку прямую, параллельную Пусть она пересечёт в точке

Тогда и поэтому треугольники и равны по двум углам и стороне. Поэтому и — параллелограмм. Но тогда

Заметим, что потому что это угол при основании равнобедренного треугольника Значит, поэтому

Обозначим через точку, симметричную точке относительно прямой

Поскольку

Также Тогда треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними, откуда Таким образом,

Заметим, что потому что это угол между биссектрисами смежных углов. Значит, в треугольнике также должен быть прямой угол, поскольку они равны. Если угол прямой, то развёрнутый угол будет больше чего быть не может. Если угол — прямой, то в треугольнике биссектриса является высотой. Следовательно, она же является и медианой, то есть этот случай даёт требуемое. Таким образом, осталось отбросить случай, когда прямым является угол Если он прямой, то потому что в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Но тогда в прямоугольном треугольнике гипотенуза равна катету, противоречие.

Пусть — середина Треугольник прямоугольный, а значит его медиана проведённая к гипотенузе, равна Заметим, что четырёхугольник — параллелограмм, потому что стороны и параллельны и равны по Следовательно,

Перемножая три полученных неравенства, получаем искомое.

Достроим треугольник до параллелограмма Тогда угол

Значит, треугольники и равны по трём сторонам. То есть

лежит на отрезке Значит

Пусть в деревне жителей, из которых один ответил: “Один. На ”, двое ответили: “Двое. На ”, а трое: “Трое. На ”. Тогда в деревне может быть один рыцарь (тогда это первый), два (двое вторых) или три (трое третьих).

Назовём галочкой два рейса одной авиакомпании, выходящие из одного города. Из каждого города выходит ровно рейсов, где представлены все авиакомпаний. Поэтому каждый город служит центром ровно для одной галочки, то есть всего имеется галочка.

Пусть в Эйлерии есть хотя бы два треугольника. Каждый из них порождает три галочки, принадлежащие одной авиакомпании. Но тогда на долю остальных или авиакомпаний остается максимум галочек. Значит, найдётся авиакомпания, не имеющая галочек, то есть из каждого города выходит ровно по одному рейсу этой компании. Но у каждого рейса два конца, и суммарное количество этих концов не может равняться нечетному числу Противоречие.