Регион 9 класс

Рассмотрим произвольную закраску, удовлетворяющую условию. Разобьём все клетки поверхности на “каёмки” так, как показано на рисунке слева — по каёмок вокруг каждой из восьми вершин (одна из каёмок отмечена серым). Тогда в -й каёмке, считая от вершины, будет клеток. Так как никакие две закрашенные клетки не могут быть соседними, в этой каёмке будет не более закрашенных клеток. Просуммировав по всем каёмкам и учтя, что их общая площадь равна получаем, что общее количество закрашенных клеток не превосходит

Давайте приведём пример, показывающий, что столько клеток закрасить можно. Назовём две противоположных грани куба верхней и нижней, а остальные боковыми. На каждой из боковых граней можно отметить половину клеток шахматным образом. После этого на верхней и нижней гранях можно будет также окрасить половину клеток во всех строках, кроме двух крайний, оставив их пустыми — см. рисунок справа, где видны две боковых и верхняя грани. Нетрудно видеть, что при такой закраске в каждой каёмке будет максимально возможное количество закрашенных клеток (Вместо проверки каждой каёмки можно заметить, что вся поверхность разбивается на полоски четыре из которых — пустые, а в каждой из остальных закрашена ровно половина клеток).