Количество, сумма, произведение делителей

Лемма. Для любого натурального числа произведение всех его делителей равно где — число делителей числа

Докажем лемму. Пусть делители числа равны …, Их можно разбить на пары вида произведение каждой пары равно В случае, когда не точный квадарт таких пар поэтому общее произведение всех делителей равно В случае когда — полный квадрат, останется без пары, но так как будет полуцелым, то формула тоже будет верна.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Теперь применим лемму. Возьмём Тогда пятёрка входит в произведение всех делителей в степени, а двойка в степени.

Следовательно, минимальная из степеней вхождения равна значит произведение всех делителей оканчивается ровно на ноль.