Регион 9 класс → .11 Регион 2024
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На доске записано 7 различных чисел, сумма которых равна 10. Петя умножил каждое из них на сумму остальных шести и записал 7 полученных произведений в тетрадь. Оказалось, что в тетради встречаются только четыре различных числа. Найдите одно из чисел, записанных на доске.
Источники:
Для каждого числа 
написанного на доске, произведение 
и суммы шести оставшихся равно
Квадратичная функция 
принимает все значения, кроме максимального, два раза — а именно, в точках 
и 
Значит, если
при 
то 
Таким образом, каждое число встречается в тетради не более двух раз. Значит, так как в тетради всего четыре различных числа,
три из них встречаются по два раза, и ещё одно — один раз. Таким образом, шесть из семи чисел на доске разбиваются
на пары так, что сумма чисел каждой пары равна 
Значит, сумма этих шести чисел равна 
тогда седьмое число
равно
-20
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На окружности длиной 1 метр отмечена точка. Из неё в одну и ту же сторону одновременно побежали два таракана с различными постоянными скоростями. Каждый раз, когда быстрый таракан догонял медленного, медленный мгновенно разворачивался, не меняя скорости. Каждый раз, когда они встречались лицом к лицу, быстрый мгновенно разворачивался, не меняя скорости. На каком расстоянии от отмеченной точки могла произойти их сотая встреча?
Источники:
на нулевом
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На стороне 
остроугольного треугольника 
выбраны точки 
и 
так, что 
Точки 
и 
выбраны
соответственно на отрезках 
и 
так, что 
и 
Докажите, что точка пересечения медиан треугольника 
равноудалена от прямых 
и 
Источники:
Пусть 
— середина 
тогда 
— ещё и середина 
Пусть 
— точка пересечения медиан треугольника
По свойству медианы имеем 
А так как 
получаем, что 
Тогда 
и
Но 
— медиана прямоугольного треугольника 
поэтому 
Значит, 
то
есть 
— биссектриса угла 
Поэтому точка 
равноудалена от прямых 
и 
.png)
Аналогично, 
– биссектриса угла 
и потому точка 
равноудалена от 
и 
Значит, она равноудалена от трёх
прямых 
и 
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Правильный треугольник 
со стороной 111 разбит прямыми, параллельными его сторонам, на правильные треугольники со
стороной 1. Все вершины этих треугольников, кроме центра треугольника 
отмечены. Назов¨ем множество из нескольких
отмеченных точек линейным, если все эти точки лежат на одной прямой, параллельной стороне 
Сколько существует
способов разбить все отмеченные точки на 111 линейных множеств? (Способы, отличающиеся порядком множеств, считаются
одинаковыми.)
Источники:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Существует ли натуральное число 
такое, что десятичные записи чисел 
и 
отличаются перестановкой цифр?
(Иначе говоря, в десятичных записях чисел 
и 
должно быть поровну цифр 0, поровну цифр 1, …, поровну цифр
9.)
Источники:
Первое решение. Заметим, что числа 
и 
получаются друг из друга перестановкой цифр.
Пусть теперь
Положим
Заметим тогда, что
Иначе говоря, десятичная запись числа 
состоит из блоков 
и 
(дважды), разделённых нулями; у
числа же 
эти блоки суть 
и 
(дважды). Поскольку блоки 
и 
отличаются перестановкой
цифр, а блоки 
и 
одинаковы в обоих записях. Также количества разделяющих нулей в обоих случаях одинаковы, получаем, что
число 
удовлетворяет требованиям.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение. Предположим, что нам удалось найти такое число 
(возможно, с ведущим нулём), что набор цифр в десятичной
записи числа 
отличается от набора цифр в десятичной записи числа 
выкидыванием цифры 
и добавлением цифры 
(иначе
говоря, если к числу 
приписать единицу, а к 
— четвёрку, то полученные числа отличаются перестановкой цифр). Тогда в качестве
числа 
можно выбрать 
(где 
и 
больше количества цифр в числе 
). Действительно,
имеем
и мы опять видим, что эти числа состоят из блоков 
и 
разделённых нулями, а блоки получаются друг из друга
перестановкой цифр (по условию на 
и 
и так как 
одинаково в обоих случаях).
Осталось найти такое число 
Если, например, потребовать, чтобы запись числа 
получалась из записи числа 
циклическим сдвигом и заменой 4 на 1, то такое число нетрудно найти, выписывая его цифры с конца. Подойдет, например,
пара
да
