Закл (финал) 10 класс
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Треугольник 
вписан в окружность 
. На сторонах 
и 
выбраны точки 
и 
соответственно так, что
. Прямые 
и 
пересекаются в точке 
. Пусть 
— центр вписанной окружности треугольника 
, а 
— центр
вневписанной окружности треугольника 
, касающейся стороны 
. Докажите, что середина дуги 
окружности 
равноудалена от точек 
и 
Пусть 
— середина дуги 
окружности 
тогда 
Получается, 
по условию и 
как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу. Значит,
треугольники 
и 
равны, и они совмещаются поворотом Ф с центром в точке 
на угол 
Отсюда, в частности,
следует, что 
и 
А из последнего равенства углов следует, что четырёхугольник 
вписан в некоторую
окружность 
.
Описанные окружности 
и 
треугольников 
и 
также совмещаются поворотом Ф. Пусть 
и 
– середины дуг
и 
этих окружностей(не содержащих 
). Тогда 
то есть точка 
лежит на серединном перпендикуляре к 
а так
же 
Из окружностей 
и 
имеем 
то есть 
лежит на 
Аналогично 
лежит на 
Отсюда следует,
что точки 
и 
лежат на биссектрисе угла 
Точки 
и 
так же лежат на биссектрисе 
так как они являются
центрами окружностей, вписанных в этот угол.
По лемме о трезубце для треугольников 
и 
и 
Так как 
это означает, что точки 
и
симметричны относительно серединного перпендикуляра к 
на котором лежит точка 
Значит, 
равноудалена от 
и 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
