Закл (финал) 10 класс
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дано число 
Положительные числа 
…, 
удовлетворяют условиям 
и
Найдите наименьшее возможное значение выражения 
Источники:
Подсказка 1
Для начала попробуйте угадать ответ. Поможет его угадать условия на выражения. На самом деле достаточно найти самые тривиальные x_i для которых условие верно.
Подсказка 2
И правда ответ n + a². Теперь попробуйте переписать сумму квадратов x_i через сумму квадратов 1 - x_i для того, чтобы избавится от n в правой части.
Подсказка 3
Теперь нам достаточно доказать, что сумма квадратов (1 - x_i) больше, чем (1 - a)^2. Тут надо рассмотреть два случая. Попробуйте понять почему при x₀ ≤ a задача очевидна, где x₀ — минимальное из x_i.
Подсказка 4
Если же x₀ ≥ a, то попробуйте из каждого слагаемого вынести соответственное x_i и оценить его a.
Будем доказывать ответ 
Заметим, что при 
и 
достигается равенство. Перепишем
Поэтому достаточно доказать, что
Пусть 
— наименьшее из чисел. При 
имеем
Пусть 
то
Так как 
а значит, скобки из суммы неотрицательны. Следовательно,
Что и требовалось.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
