Закл (финал) 10 класс
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На дугах 
и 
окружности, описанной около треугольника 
выбраны соответственно точки 
и 
так, что прямые 
и
параллельны. Докажите, что центры вписанных окружностей треугольников 
и 
равноудалены от середины дуги
Источники:
Подсказка 1
Отметьте середины E и H меньших дуг BK и BL. Попробуйте поискать равные дуги, хорды. Соберите максимально много информации с чертежа.
Подсказка 2
Пусть M - середина дуги ABC, I и J - центры вписанных окружностей. Доказать равенство отрезков IM и MJ довольно проблематично. Но можно доказать равенство некоторых объектов, в которые они входят, из которых будет следовать их равенство.
Подсказка 3
Докажите равенство треугольников JHM и MEI. Для этого используйте всю информацию, которую собрали в подсказке 1.
Отметим точки 
– середины дуг 
(не содержащей 
), 
(не содержащей 
) и центры вписанных
окружностей треугольников 
Ясно, что 
лежит на 
лежит на 
По лемме о трезубце, 
и
Из условия следует, что точка 
лежит на дуге 
не содержащей 
и 
Поскольку 
– середина дуги 
строго меньшей,
чем 
то 
лежит между 
и 
на дуге 
не содержащей 
и 
Аналогично, 
лежит между 
и 
Угол 
тем
самым, опирается на ту дугу 
которая содержит 
а 
– на 
содержащую 
Такие дуги равны, поэтому равны и
углы.
Отметим, что 
поэтому 
как хорды,
стягивающие равные дуги. Аналогично, 
Рассмотрим теперь треугольники 
и 
По доказанному,
и 
Значит, треугольники равны, и в частности 
что и требовалось
доказать.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
