Закл (финал) 10 класс

Заметим сразу, что при каждом натуральном в последовательности встретится бесконечно много -х степеней натуральных чисел, больших единицы. Действительно, если их количество конечно, и наибольшая из них—это то в последовательности не встретится ни одной -й степени, что невозможно.

Положим тогда Поскольку все коэффициенты многочлена целые, из следует Отсюда непосредственной индукцией по получаем, что то есть при всех

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Лемма. делится на

Доказательство. Пусть —максимальная степень простого числа делящая достаточно показать, что делится на Положим согласно замечанию выше, найдётся такой индекс что при натуральном при этом

Если не делится на то по теореме Эйлера откуда Если же делится на то делится на а значит, и тоже. В любом случае делится на что и требовалось.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Согласно лемме, для любого число делится на при этом по условию среди целых чисел бесконечно много различных. В частности,

при бесконечном количестве целых значений (где ).

Предположим теперь, что степень многочлена (и, как следствие, многочлена ) больше Тогда неравенство выше может выполняться для бесконечно многих целых лишь тогда, когда —квадратный трёхчлен со старшим коэффициентом то есть В этом последнем случае значения многочлена делятся на для бесконечного количества целых это может быть лишь если то есть или

В первом случае то есть не может быть нечётной степенью натурального числа, если не является таковой степенью. Во втором случае при всех то есть не может быть степенью натурального числа, большего В обоих случаях условие задачи не выполнено; значит, линеен.