Закл (финал) 10 класс

Назовём натуральное плохим, если не делится на Наша цель — доказать, что плохих чисел бесконечно много.

Первое решение. Докажем, что при любом чётном одно из чисел и плохое; из этого, очевидно, следует требуемое. Предположим противное. Тогда и Иначе говоря, и Но отсюда следует, что это невозможно, ибо Противоречие.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. При утверждение задачи очевидно, поэтому будем считать, что

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Лемма. Пусть и — натуральные числа. Предположим, что делится на Тогда делится на

Доказательство. Пусть — остаток от деления на Тогда

то есть одно из чисел делится на Но это невозможно при ибо

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Докажем, что существует бесконечно много плохих чисел вида Действительно, если делится на то по лемме должно делиться на Это невозможно, если, например, — простое число, большее Осталось заметить, что таких простых чисел бесконечно много.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Третье решение. Мы опять же исследуем лишь случай

Пусть — некоторый простой делитель числа Положим тогда при любом имеем то есть делится на

С другой стороны, покажем, что числа и не могут одновременно делиться на Действительно, иначе на делилась бы и их разность но это невозможно, ибо по малой теореме Ферма, а числа и взаимно просты с

Итак, либо не делится на (и, значит, на ), либо не делится на (и, значит, на ). Поэтому среди чисел бесконечно много плохих.